Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


T M

Đăng ký: 19-11-2011
Offline Đăng nhập: 09-07-2014 - 12:58
****-

#506869 $\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2} \geq \sqr...

Gửi bởi T M trong 15-06-2014 - 15:43

Bài toán: Giải bất phương trình 

 

$$\sqrt{x}+\sqrt{1-x^2}\geq \sqrt{2-3x-4x^2}$$

 

( Đề thi thử lần 4 chuyên ĐHV 2014 )




#506629 $\frac{y+2x^2}{2x+1}+\frac{z+2y^2...

Gửi bởi T M trong 14-06-2014 - 16:57

Lâu lắm mới vào lại diễn đàn, một số topic nhìn cũng loạn quá rồi :( Thôi post ra ngoài thì hơn.

 

Bài toán: Cho $x;y;z>0$Tìm GTNN của  ( Thi thử GSTT 14/6/2014 )

 

$$ P= \frac{y+2x^2}{2x+1}+\frac{z+2y^2}{2y+1}+\frac{x+2z^2}{2z+1}+\frac{8}{x+y+z}$$

 

Mọi người cố gắng phân tích được thì tốt, không thì cố gắng lời giải chỉnh chu và phù hợp với thi đại học nhé, 96er đâu hết rồiiiiiiiiiiiiiiiiii :D




#473060 $\frac{1}{3}\left ( \sum \frac...

Gửi bởi T M trong 26-12-2013 - 19:46

Cho $x;y;z>0$, chứng minh 

 

$$\frac{1}{3}\left ( \sum \frac{yz}{x^2} \right )+\left [ \frac{xyz(x+y+z)}{\sum x^2y^2} \right ]^2 \geq 2$$




#459454 Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

Gửi bởi T M trong 23-10-2013 - 18:28

phải là $2^x=(y+1)^2-65$ chứ

 

sai rồi $x=10,y=32$ là nghiệm đó

 

Mình nhầm, sửa lại một chút, tưởng bài này ngon :P

 

Phương trình tương đương $$2^x+65=(y+1)^2$$

 

+ Nếu $(y+1)^2 \equiv 0 (\mod 2)$ thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu $(y+1)^2 \not\equiv 0 (\mod 2)$ thì đặt $t=y+1$, và $ t^2 \not\equiv 0(\mod 2)$.

Viết lại phương trình dưới dạng $$2^x+65=t^2$$

 

Vì $t^2 \equiv 1;4 (\mod 5)$ nên $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$. Tính $2^1;2^2;...$ thì suy ra $2^x \equiv 1;4 (\mod 5)$ suy ra $x \equiv 0;2 (\mod 4)$.

 

Nên $x$ chẵn. Suy ra $$\left (2^{\frac{x}{2}}-t \right) \left (2^{\frac{x}{2}} +t \right) =-65$$

 

Dễ có $-65=-65.1=-5.13$. Vì $t;x>0$. Đến đây giải hệ là được.




#459235 Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

Gửi bởi T M trong 22-10-2013 - 17:48

Câu 1:(5đ)

 

Giải hệ phương trình:

 

$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$

 

Câu 2:(4đ) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi

 

$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$

 

Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$

 

 

 

Câu dãy chứng minh được $x_n \to 0$. Suy ra $\frac{\sum x_k}{n} \to 0$. :|




#459216 Đề thi HSG tỉnh Yên Bái và TST

Gửi bởi T M trong 22-10-2013 - 15:25

 

 

 

Cậu 5: (3đ)

 

Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$  không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$

 

 

 

 

Giải.

 

Xét các số có dạng $A_j=\sum^{10}_{i=1}b_ia_i$, trong đó$b_i=\{0;1\}$, $a_i ; i= \overline{1;10}$.

Dễ thấy có $2^{10}=1024$ số như vậy. Khi đó trong các $A_j$ sẽ tồn tại $2$ số $A_k$ và $A_h$ thỏa mãn $A_k \equiv A_h (\mod 1023) \Longrightarrow A_k-A_h \equiv 0 (\mod 1023)$. Điều này chứng tỏ rằng $$\sum (b_{ki}-b_{hi})u_i \vdots 1023 ; i=\overline{1;10} ; b_{ki}=\{0;1\}$$

Đặt $b_{ki}-b_{hi}=x_i$ thì dễ thấy $x_i=\{-1;0;1\}$. Từ đó có đpcm $\blacksquare$.




#459105 Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014

Gửi bởi T M trong 21-10-2013 - 20:15



Câu 1.

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và : 

$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$

Câu 2.

Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :
$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$

 

 

Nháp một lúc thì ra được câu hệ. Đặt $x+y=u$ và $x-y=v$, thay vào phương trình $(1)$ suy ra $$4(u+v)+(u^2-v^2)(u+v)=4(u-v)+16 \Longleftrightarrow 4(u+v-4)+(u-v)\left[ (u+v)^2 - 4 \right] = 0 \Longleftrightarrow (u+v-4)(4+(u-v)(u+v+4))=0$$

 

Từ phương trình $(2)$ ta được $3u^2+v^2=12$. Đến đây công việc khác là đơn giản :D




#459099 Đề chọn đội tuyển thi Quốc Gia Khối chuyên ĐHSP 2013-2014

Gửi bởi T M trong 21-10-2013 - 19:55

Câu 1.

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và : 

$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$

Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$

 

Câu này chắc là đơn giản nhất. 

 

Xét $f(x)=\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2-2x+2}$, có $f'(x)=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+2}}-\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x+2}}$.

 

Ta chứng minh rằng $f'(x)>0$, thật vậy, xét hàm $f(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}$, có $f'(t)=\left(t^2+1 \right)^{-1/2}+2t^2\left(t^2+1 \right)^{-3/2}>0$, nên $f(x+1)>f(x-1)$ hay $f'(x)>0$.

 

Từ đó chỉ cần tính $x_2$ và so sánh $x_2$ với $x_1$ là bài toán được giải quyết $\blacksquare$.




#457873 Tìm lim $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}...

Gửi bởi T M trong 16-10-2013 - 07:01

Cho U1=1 và Un+1= $\sqrt{1+U_{n}(U_{n}+1)(U_{n}+2)(U_{n}+3)}$ 
Tìm lim $\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{U_{i}+2}$

 

Hướng dẫn: Nhân trong căn ra và nhóm lại được bình phương đủ.




#457794 $\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}...

Gửi bởi T M trong 15-10-2013 - 20:30

   cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=1.CMR

$\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sqrt{3}$

 

Chứng minh:

 

Hãy chỉ ra rằng,

 

$$\sum \sqrt{a^2+ab+b^2} \geq \sum \frac{\sqrt{3}}{2} \left ( a+b \right)$$

 

Bằng cách biến đổi tương đuơng theo từng cặp.




#457714 Cho n$\epsilon N$ thỏa mãn $2^{n}-1$ là số...

Gửi bởi T M trong 15-10-2013 - 06:14

Cho n$\epsilon N$ thỏa mãn $2^{n}-1$ là số nguyên tố. Chứng minh n là số nguyên tố.

 

Ta sẽ chứng minh điều này bằng phản chứng.

 

+ Đầu tiên, ta chứng minh rằng, $n$ không thể $=1$. Điều này khá hiển nhiên, bạn tự làm.

 

+ Giờ ta sẽ chứng minh, với $n \neq 1$, $2^n-1$ là $1$ số nguyên tố, thì $n$ không phải hợp số. Giả sử trái lại, tức $n$ là hợp số, thì ta sẽ có $n=pq$, trong đó $p,q>1$ và nguyên. Khi đó,$$2^n-1=2^{pq}-1=\left(2^p \right)^q-1^q=(2^p-1)[2^{p(q-1)}...+1]$$ Hiển nhiên $2^n-1$ là hợp số. Vô lí, vậy giả sử sai. Ta có đpcm $\blacksquare$.




#457158 Đề thi chọn đội tuyển toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014

Gửi bởi T M trong 12-10-2013 - 18:59

không thể suy ra toàn ánh như kiểu của bạn được đâu :)

 

Bạn giải thích kĩ hơn hộ mình một chút được không ? Sao lại không suy ra toàn ánh được nhỉ ? 

 

Với lại thế $u=x+f(x)$ thì có cần điều kiện gì không ?




#457145 Đề thi chọn đội tuyển toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013-2014

Gửi bởi T M trong 12-10-2013 - 18:14

Bài làm của mình, nhưng mình cũng đang phân vân chỗ $f$ toàn ánh, không biết thế có đúng không ?

 

Với lại, khi thế $u=x+f(x)$, có cần điều kiện gì không nhỉ ?




#452996 ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU - ĐẮK LẮK (2013-2014) - Vòng 1

Gửi bởi T M trong 25-09-2013 - 20:22

Bài phương trình hàm giải thế này không biết ổn không :D

 

  • Cho $y=0$, suy ra $f(0)=0$.
  • Cho $x=0$, suy ra $f(y)=-y^2-y$ hay $f(x)=-x^2-x$, thử vào ... thấy đúng.

Vậy hàm cần tìm là $f(x)=-x^2-x$.




#451224 $u_{1}=1;u_{2}=2;u_{n+1}=\dfrac{...

Gửi bởi T M trong 17-09-2013 - 18:10

Tuyến tính hóa dãy đã cho, ta được công thức truy hồi sau:

 

$$u_1=1 ; u_2=2 ; 14u_{n+1}-47u_n-3u_{n-1}=1$$

 

Đến đây, dùng phương pháp sai phân ta được công thức tổng quát của $u_n$.