T M

Hì, cảm ơn bạn. Hôm qua post lên nhưng bài ở tiêu đề làm được rồi. Ngại fix

P/S: Còn bài 1 nữa

Bài 1 bạn NguyenTa98ka làm ngược dấu rồi. Bài này có thể làm như sau

Có

$\frac{a^2}{a+2b^3}=a-\frac{2ab^3}{a+2b^3}\geq a-\frac{2b\sqrt[3]{a^2}}{3}$

Tương tự

$\Rightarrow DPCM\Leftrightarrow b\sqrt[3]{a^2}+c\sqrt[3]{b^2}+a\sqrt[3]{c^2}\leq3$

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có

$ab+ab+b\geq 3\sqrt[3]{b^3.a^2}=3b.\sqrt[3]{a^2}$

Mà $ab+bc+ac\leq\frac{1}{3}(a+b+c)^2$. Nên ta có điều phải chứng minh.

P/S: Bài cuối hình như sai đề

Bài 112: Cho x,y,z > 0 và $x^2+y^2+z^2=3$
CMR: $\frac{(x^2+y^2+z^2)^3}{(x^3+y^3+z^3)^2}\leq 3$
Singapore MO 2001
Bài này mặc dù là bài thi quốc tế nhưng bài này khá đơn giản

CM: ĐPCM $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^2\geq\frac{1}{3}(x^2+y^2+z^2)^3$

Ta có:$(x^3+y^3+z^3)(x^3+y^3+z^3)(1+1+1)\geq (x^2+y^2+z^2)^3$ ( Holder)
$\Rightarrow $ ĐPCM

* Sử dụng bất đẳng thức Schwarz :$\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\geq\frac{(a+b+c)^2}{x+y+z}$

$\Rightarrow A\geq\frac{(x+y+z-3)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}$

$"="\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}$

Trước hết bạn chứng minh bất đẳng thức sau:

$\dfrac{1}{1+a^{2}}+\dfrac{1}{1+b^{2}}\geq \dfrac{2}{1+ab}$
Tương tự:
$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$
Ta có:
$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}$
Mặt khác:
$\dfrac{1}{1+c^{3}}+\dfrac{1}{1+abc}\geq \dfrac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}$
Mà:
$\dfrac{2}{1+\sqrt{a^{3}b^{3}}}+\dfrac{2}{1+\sqrt{abc^{4}}}\geq \dfrac{4}{\sqrt{\sqrt{a^{4}b^{4}c^{4}}}}= \dfrac{4}{abc}$
=> ĐPCM

nói chung là phương pháp học tập mỗi người một PP. quan trọng là mục đích là gì để có mục đích cho phù hợp