tongduyquang

Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh $ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} $
Cách 1: Ta có hằng đẳng thức sau:
$a+b+c-\sqrt[3]{abc}=( \sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ca}) \geq 0$
Cách 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:
$ a+b+c+d \geq 2 \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geq 4 \sqrt[4]{abcd} $
$ (\dfrac{a+b+c+d}{4})^4 \geq abcd$
Thay $ d=\dfrac{a+b+c}{3}$ ta được bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
Cách 3:(NG. Nguyễn Đức Tấn) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:
$a+b+c+\sqrt[3]{abc} \geq 2 \sqrt{ab}+2 sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \geq 4 \sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}} =4 \sqrt[3]{abc} $
Từ đó có đpcm.

Bro chi ro hon di, sao ko hieu.

Cho các số thực dương $a, b, c$. Chứng minh $ a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{abc} $
Cách 1: Ta có hằng đẳng thức sau:
$a+b+c-\sqrt[3]{abc}=( \sqrt[3]{a} +\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}+\sqrt[3]{c^2}-\sqrt[3]{ab}-\sqrt[3]{bc}-\sqrt[3]{ca}) \geq 0$
Cách 2: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho 4 số:
$ a+b+c+d \geq 2 \sqrt{ab} + \sqrt{cd} \geq 4 \sqrt[4]{abcd} $
$ (\dfrac{a+b+c+d}{4})^4 \geq abcd$
Thay $ d=\dfrac{a+b+c}{3}$ ta được bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
Cách 3:(NG. Nguyễn Đức Tấn) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:
$a+b+c+\sqrt[3]{abc} \geq 2 \sqrt{ab}+2 sqrt{c\sqrt[3]{abc}} \geq 4 \sqrt[4]{abc\sqrt[3]{abc}} =4 \sqrt[3]{abc} $
Từ đó có đpcm.

Bro chi em chi tiet hon duoc ko, e chua hieu lam.