Đến nội dung

Thienduongco

Thienduongco

Đăng ký: 01-12-2011
Offline Đăng nhập: 24-08-2012 - 14:01
-----

$\dfrac{1}{n-1+a_{1}}$+ $\dfrac{1}{n-1+a_{2}}$ +............

09-12-2011 - 20:36

1: Với các số thực dương a1,a2,..........,an có tích bằng 1 , hãy chứng minh ~O)
2:Với mọi số thực a,b,c không âm, chứng minh
$\dfrac{1}{(a+b)^{2}}$+$\dfrac{1}{(b+c)^{2}}$+
$\dfrac{1}{(c+a)^{2}}$$\geq$$\dfrac{9}{4(ab+bc+ca)}$ (~~) :icon6:

$\dfrac{52}{27}$$\leqslant$a2+b2+c2$<$2

09-12-2011 - 19:59

mọi người giúp tớ bài này nhé :
1;Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 2 . Chứng minh rằng :
$\dfrac{52}{27}$$\leqslant$a2+b2+c2$<$2
2;Cho 3 số thực dương x,y,z thoả mãn điều kiện :2$\sqrt{xy}$+$\sqrt{xz}$=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
S=$\dfrac{3yz}{x}$+$\dfrac{4xz}{y}$+$\dfrac{5xy}{z}$
3; Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn ab+bc+ca =abc. Chứng minh rằng :
$\dfrac{a^{4}+b^{4}}{ab(a^{3}+b^{3})}$+$\dfrac{b^{4}+c^{4}}{bc(b^{3}+c^{3})}$+$\dfrac{c^{4}+a^{4}}{ca(c^{3}+a^{3})}$$\geqslant$1

Cm :a6+b6+c6+a2b2c2$\geqslant$2$\dfrac{}{}$3( a5(b+c)+ b...

09-12-2011 - 16:45

Chứng minh với mọi a,b,c thực
a6+b6+c6+a2b2c2$\geqslant$2$\dfrac{}{}$3( a5(b+c)+ b5(c+a)+c5(a+b)
Giải :
Sử dụng bất đẳng thức schur ta có : a6+b6+c6+3a2b2c2$\geqslant$a4(b2+c2)+b4(c2+a2) +c4(a2+b2)
Theo bất đẳng thức AM-GM thì
(a6+a4b2) +(a6+a4c2)$\geqslant$2a5(b+c)
( b6+b4c2) + (b6+ b4a2)$\geqslant$2b5(c+a)
(c6+c4a2) + ( c6+c4a2)$\geqslant$2c5(a+b)
Cuối cùng , cộng cả 4 bất đẳng thức trên lại ta có đpcm :icon10:

Định lí : Cho hai dãy số đơn điệu tăng a1 , a2,......, an và b1, b2 , ..... bn.

09-12-2011 - 16:30

Định lí : Cho hai dãy số đơn điệu tăng a1 , a2,......, an và b1, b2 , ..... bn. Giả sử ( i1,i2,........,in) là hoán vị bất kì của (1,2, ..... ,n ) , ta luôn có
a1b1+a2b2+...........+ anbn$\geqslant$a1bi1+a2bi2+........+anbin
Ngoài ra nếu 2 dãya1 ,a2 ,.........,an và b1 ,b2 ,.........,bn đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều.
CHỨNG MINH:
Xét trường hợp các dãy đều là đơn điệu tăng . Bất đẳng thức tương đương với
a1( b1-bi1) + a2( b2-bi2) +...........+an( bn-bin)$\geqslant$0
$\Leftrightarrow$( a1-a2)(b1-bi1) + (a2-a3)(b1+b2-bi1-bi2) +..........+ (an-1-an)(b1+b2+....+bn-1-bi1-bi2-......-bin-1)+an(b1+b2+........+bn-bi1-..........-bin)$\geqslant$0
Vì b1$\geqslant$b2$\geqslant$.............$\geqslant$bn nên với mọi k=1, n thì b1+b2+.....+bk$\geqslant$bi1+bi2+.........+bik.
Vậy mỗi cố hạng của tổng trên đều không âm. Ta có đpcm
Nếu hai dãy đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức đổi dấu và cũng chứng minh tương tự .

:lol:
:wub:


Định lí : Cho hai dãy số đơn điệu tăng a1 , a2,......, an và b1, b2 , ..... bn. Giả sử ( i1,i2,........,in) là hoán vị bất kì của (1,2, ..... ,n ) , ta luôn có
a1b1+a2b2+...........+ anbn$\geqslant$a1bi1+a2bi2+........+anbin
Ngoài ra nếu 2 dãya1 ,a2 ,.........,an và b1 ,b2 ,.........,bn đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức trên đổi chiều.
CHỨNG MINH:
Xét trường hợp các dãy đều là đơn điệu tăng . Bất đẳng thức tương đương với
a1( b1-bi1) + a2( b2-bi2) +...........+an( bn-bin)$\geqslant$0
$\Leftrightarrow$( a1-a2)(b1-bi1) + (a2-a3)(b1+b2-bi1-bi2) +..........+ (an-1-an)(b1+b2+....+bn-1-bi1-bi2-......-bin-1)+an(b1+b2+........+bn-bi1-..........-bin)$\geqslant$0
Vì b1$\geqslant$b2$\geqslant$.............$\geqslant$bn nên với mọi k=1, n thì b1+b2+.....+bk$\geqslant$bi1+bi2+.........+bik.
Vậy mỗi cố hạng của tổng trên đều không âm. Ta có đpcm
Nếu hai dãy đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức đổi dấu và cũng chứng minh tương tự .

:lol:
:wub: