Em xin làm 1 cách không dùng đến định lí Pascal
Bổ đề: Tứ giác $ABCD$ ngoại tiếp $(O)$, $(O)$ tiếp xúc với $AB, BC, CD, DA$ lần lượt tại $M, N, P, Q$ và $AC \cap BD=I$
Khi đó: $\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{MA}{PC}$
Thật vậy: Kẻ $CE \parallel (E\in MP)$
Theo định lí Thales ta có:
$\dfrac{IA}{IC}=\dfrac{IM}{IE}=\dfrac{MA}{EC}=\dfrac{MA}{PC}$
Gọi $AD \cap N_1N'_1 =M; BC \cap N_1N'_1=M'$
Áp dụng vào bài toán ta có: $\dfrac{PN_1}{PN'_1}=\dfrac{BN_1}{DN'_1}=\dfrac{AN_1}{DN'_1}$
Do đó: $PN'_2, DN_1, AN'_1$ đồng quy
$\Rightarrow (MPN_1N'_1)=-1$
CM tương tự ta đc: $(M'PNN'_1)=-1$
$\Rightarrow M \equiv M' \equiv M_1$
Vậy ta có đpcm