SLNA

Làm luôn vậy
Ta cần chứng minh:
$\sqrt{a}\sqrt{a+ab+ac}+\sqrt{b}\sqrt{b+ab+cb}+\sqrt{c}\sqrt{c+ac+bc}\leq \sqrt{3}(a+b+c)$
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz bất đẳng thức trên được viết lại là $ab+ac+bc\leq a+b+c$
Ta có $ab+ac+bc\leq a+b+c\Leftrightarrow (a+b+c)^2\leq 2a+2b+2c+3$
Đúng do $a+b+c\leq a^2+b^2+c^2=3$

Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=3$. Chứng minh rằng:
$\sum \dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{a^2+b+c}}\leq \sqrt{3}$

Đưa tiếp 1 bài lên vậy
Bài 10: Cho $a,b,c>0;a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ac}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \le \dfrac{3}{2}$

Ta có $a+b+c=3\geq ab+bc+ca$. Nên
$\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{ac}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \le \sum \dfrac{bc}{\sqrt{(a+c)(a+b)}}\leq \sum \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{bc}{a+b}+\dfrac{ac}{a+b} \right )=\dfrac{3}{2}$

Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
$\sum \dfrac{5}{(b+c)^2}+\dfrac{2}{a^2+b^2+c^2}\geq \dfrac{12}{ab+ac+bc}+\dfrac{10abc}{(ab+ac+bc)(a+b)(a+c)(b+c)}$

Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng:
$\sum \dfrac{a}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{12(ab+ac+bc)}{(a+b+c)^3}\geq \dfrac{7}{a+b+c}$

Cho a, b, c là các số thực không âm, không có hai số nào đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
$\sum\dfrac{b^2}{a^2(a+b)+c^2(b+c)}\leq \dfrac{9(a^5+b^5+c^5)}{4(a^2b+b^2c+c^2a)(b^2a+c^2b+a^2c)}$

Cho $a, b, c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\leq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$$