I. Vi phân là gì?
- Phép vi phân chủ yếu tìm tốc độ thay đổi của đại lượng này với đại lượng khác. Chúng ta cần phép vi phân khi tốc độ thay đổi không có giá trị cố định, điều này có nghĩa là gì?
II. Tốc độ thay đổi cố định
- Đầu tiên, ta sẽ khảo sát một chiếc xe chuyển động với tốc độ $60km/h$, đồ thị quãng đường - thời gian sẽ như thế này:
- Chúng ta cần lưu ý rằng quãng đường tính từ điểm xuất phát tăng với hằng số cố định là $60km$ mỗi giờ, vì vậy sau $5h$ chiếc xe đi được $300km$. Chú ý rằng độ dốc (gradient) luôn là $\frac{300}{5}=60$ trong toàn bộ đồ thị. Đây chính là tốc độ thay đổi cố định của quãng đường theo thời gian, độ dốc luôn dương (vì đồ thị đi lên khi bạn đi từ trái sang phải ).
II. Tốc độ thay đổi không cố định:
- Bây giờ ta quăng quả bóng lên trời. Dưới tác dụng của trọng lực thì quả bóng di chuyển chậm dần, sau đó bắt đầu đi ngược chiều chuyển động ban đầu và rớt xuống. Trong suốt quá trình chuyển động thì vận tốc quả bóng thay đổi từ dương (khi quả bóng đi lên), chậm về $0$, sau đó về âm (quả bóng rơi xuống). Trong quá trình đi lên, quả bóng có gia tốc âm vì khi nó rơi xuống thi gia tốc dương.
- Ta có đồ thị mối liên hệ giữa độ cao $h(m)$ và thời gian $t(s)$
-Lúc này độ dốc của đồ thị thay đổi trong suốt quá trình chuyển động. Ban đầu độ dốc khá lớn, có giá trị dương (biểu thị vận tốc lớn khi ta ném bóng), sau đó khi quả bóng chậm dần, độ dốc ngày càng ít và bằng $0$ (khi quả bỏng ở điểm cao nhất và vận tốc lúc đó bằng $0$). Sau đó quả bóng bắt đầu rớt xuống và độ dốc chuyển sang âm (ứng với gia tốc âm) sau đó ngày càng dốc hơn khi vận tốc tăng lên.
- Độ dốc của một đường cong tại 1 điểm cho ta biết tốc độ thay đổi của đại lượng tại điểm đó.
III.Khái niệm quan trọng: tính xấp xỉ của đường cong
- Bây giờ ta hãy phóng to một phần đồ thị gần vị trí $t=1s$ (nơi tôi đánh dấu hình chữ nhật phía trên), quan sát một đoạn ngắn giữa vị trí $t=0,9s$ và $t=1,1s$, nó sẽ trông giống như thế này:
- Lưu ý rằng khi ta phóng to đủ gần ở đường cong, nó bắt đầu giống như đường thẳng. Chúng ta có thể tìm giá trị xấp xỉ độ dốc của đường cong tại vị trí $t=1$ (chính là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong được vẽ màu đỏ) bằng cách quan sát những điểm mà đường cong đó đi qua gần $t=1$ (tiếp tuyến là 1 đường thẳng tiếp xúc với đường cong tại duy nhất 1 điểm).
- Quan sát đồ thị, ta thấy rằng đường cong ấy đi qua $(0,9;36,2)$ và $(1,1;42)$. Vậy độ dốc của tiếp tuyến tại vị trí $t=1$ khoảng:
$$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$
$$=\frac{42-36,2}{1,1-0,9}$$
$$=29m/s$$
- Đơn vị là $m/s$ giống như vận tốc, vậy chúng ta đã tìm được tốc độ thay đổi bằng cách nhìn vào độ dốc.
- Rõ ràng, nếu chúng ta phóng to gần hơn, đường cong sẽ thẳng hơn và ta sẽ có giá trị xấp xỉ đúng hơn cho độ dốc của đường cong.
- Ý tưởng của việc "phóng to" vào đồ thị và tìm giá trị xấp xỉ đúng nhất của độ dốc đường cong (cho ta biết được tốc độ thay đổi) dẫn đến sự phát triển của vi phân.
IV. Sự phát triển của phép tính vi phân:
- Cho đến thời đại của Newton và Lebniz thì vẫn chưa có 1 cách chắc chắn để dự đoán hay miêu tả về hằng số biến đổi của vận tốc. Có 1 sự cần thiết thực tế để hiểu làm như thế nào ta có thể phân tích và dự đoán các đại lượng có hằng số biến thiên . Đó là lý do họ phát triển phép tính vi phân.
V. Tại sao phải nghiên cứu phép tính vi phân?
- Có rất nhiều ứng dụng của phép vi phân trong khoa học và kỹ thuật.
- Vi phân còn được dùng trong việc phân tích về tài chính cũng như kinh tế.
- Một ứng dụng quan trọng của vi phân đó là tối ưu hóa phạm vi, tức tìm điều kiện giá trị lớn nhất (hay nhỏ nhất) xảy ra. Điều này rất quan trọng trong kinh doanh (tiết kiệm chi tiêu, gia tăng lợi ích) và kỹ thuật (độ dài lớn nhất, giá tiền nhỏ nhất)
VI. Ví dụ về tối ưu hóa:
- Một hộp có đáy hình vuông được mở ở mặt trên. Nếu sự dụng vật liệu $64cm^{2}$ thì thể tích lớn nhất có thể của hộp là bao nhiêu.
- Chúng ta sẽ giải quyết vấn để này trong bài viết sắp tới: Ứng dụng của vi phân.
VII. Tính gần đúng mà chúng ta sử dụng:
- Những tính gần đúng dưới đây đều có giá trị rất quan trọng:
+ Trị số gần đúng để tìm độ dốc
+ Đại số gần đúng để tìm độ dốc
+ Tập hợp những quy luật của vi phân
- Bạn có thể bỏ qua phần ứng dụng nếu bạn chỉ cần quan tâm đến cách tính vi phân , nhưng đây sẽ là một thiếu sót lớn vì bạn sẽ không biết được tại sao lại có cách đó.
Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân
Bài tiếp theo: Giới hạn và vi phân
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 20-08-2013 - 18:19
