Chủ đề này có 69 trả lời

[nghiemthanhbach]

Đóng gọp Topic một số bài`

Bài 16,

Cho $x,y,z> 0$ . Chứng minh rằng :

$\sum \frac{2x}{x^{6}+y^{^{4}}}\leq \sum \frac{1}{x^{4}}$

Bài 17,

Cho a,b,c là các số dương thoã mãn a+b+c=3. Chung minh:

$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\geq \frac{9a^{2}b^{2}c^{2}}{1+2a^{2}b^{2}c^{2}}$

Bài 18,

Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh

$\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+abc}\leq \frac{1}{abc}$

Xin giải quyết bài 18 luôn

Áp dụng bổ đề: $x^3+y^3=(x+y)(x^2+y^2-xy)\geq (x+y)(2xy-xy)=(x+y)xy$ với mọi $a,b\geq 0$

Ta sẽ được: $\sum \frac{1}{a^3+b^3+abc}\leq \sum \frac{1}{(a+b)ab+abc}=\sum \frac{1}{ab(\sum a)}=\frac{\sum a}{\prod a\sum a}=\frac{1}{abc}$

[nghiemthanhbach]

Bài 19: Chứng minh $\sum _{cyc}(1+\frac{a}{b})\geq 2+\frac{2\sum a}{\sqrt[3]{abc}}$ với mọi $a,b,c>0$

Bài 20: Chứng minh$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{a}{a+b}$

37-38

 

CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CBS 

Bđt Buhiacopsky: $(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k})^2\leq \sum _{k=1}^{n}a^2_{k}\sum _{k=1}^nb^2_{k}$

Bđt C-S, hay còn gọi là AM-GM, Schwarz hay CBS dạng Êngle: $\sum _{k=1}^n\frac{a_{k}^2}{b_{k}}\geq \frac{(\sum _{k=1}^{n}a_{k})^2}{\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$

Bài tập làm quen đầu tiên: với mọi abc dương

Bài 1: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sum a}{2}$

Bài 2: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Bài 3: $\sum \frac{a}{b+2c}\geq 1$

Sử dụng CBS nhé, đừng xài cách khác

[Rias Gremory]

Bài 19: Chứng minh $\sum _{cyc}(1+\frac{a}{b})\geq 2+\frac{2\sum a}{\sqrt[3]{abc}}$ với mọi $a,b,c>0$

Bài 20: Chứng minh$\sum \frac{a}{b+c}\geq \sum \frac{a}{a+b}$

37-38

 

CHƯƠNG II: BẤT ĐẲNG THỨC CBS 

Bđt Buhiacopsky: $(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k})^2\leq \sum _{k=1}^{n}a^2_{k}\sum _{k=1}^nb^2_{k}$

Bđt C-S, hay còn gọi là AM-GM, Schwarz hay CBS dạng Êngle: $\sum _{k=1}^n\frac{a_{k}^2}{b_{k}}\geq \frac{(\sum _{k=1}^{n}a_{k})^2}{\sum _{k=1}^{n}b_{k}}$

Bài tập làm quen đầu tiên: với mọi abc dương

Bài 1: $\sum \frac{a^2}{b+c}\geq \frac{\sum a}{2}$

Bài 2: $\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Bài 3: $\sum \frac{a}{b+2c}\geq 1$

Sử dụng CBS nhé, đừng xài cách khác

chém ít câu dễ dễ đã:

1, 

$\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{\sum a}{2}$

dấu = xảy ra khi a=b=c

[Rias Gremory]

Câu 2, 

Là bất đẳng thức NETBIT quá nổi tiếng luôn.!!

Nhiều cách giải...(Phải cả chục cách chứ)

[nghiemthanhbach]

bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=6\sqrt{x-5}+8\sqrt{8-x}$

bài 5: Chứng minh $(ab-cd)^2\geq (a^2-c^2)(b^2-d^2)$

bài 6: Tìm min $J=\sum a+\frac{1}{\prod a}$ với $a,b,c\geq 0\wedge \sum a^2=1$

25

Chúc vui vẻ , mình sẽ cho topic "tạm nghĩ khoảng 3 ngày để thi, chào tạm biệt nhé  

[nghiemthanhbach]

Câu 2, 

Là bất đẳng thức NETBIT quá nổi tiếng luôn.!!

Nhiều cách giải...(Phải cả chục cách chứ)

Đó là lý do mình nói sử dụng CBS đấy, chứng minh Nesbitt thì cả chục cách lận , tiêu biểu là Cauchy rơi hoặc đặt ẩn. Mình khuyến khích làm bằng CBS để luyện tập ý mà

[Rias Gremory]

Câu 3, Dạng tổng quát:

Chứng minh $M=\frac{a}{A}+\frac{b}{B}+\frac{c}{C}\geq k$  (ở đó A,B,C là các biểu thức đối xứng vòng quanh đối với các biến a,b,c dương )

Cách giải TQ:

Đặt $x=A,y=B,z=C$

Sau đó rút a,b,c theo x,y,z  rồi thay vào M

Biểu thức M khi đó sẽ chứa các bộ số để ta áp dụng cô-si

$\Rightarrow M\geq k$ (đpcm)

Dấu = xảy ra khi a=b=c

[Rias Gremory]

bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=6\sqrt{x-5}+8\sqrt{8-x}$

bài 5: Chứng minh $(ab-cd)^2\geq (a^2-c^2)(b^2-d^2)$

bài 6: Tìm min $J=\sum a+\frac{1}{\prod a}$ với $a,b,c\geq 0\wedge \sum a^2=1$

25

Chúc vui vẻ , mình sẽ cho topic "tạm nghĩ khoảng 3 ngày để thi, chào tạm biệt nhé

Thi rồi à... Nhah thế bạn, thi cấp huyện hay cấp tỉnh ??

[nghiemthanhbach]

Thi rồi à... Nhah thế bạn, thi cấp huyện hay cấp tỉnh ??

Quận thôi .

CÁC DẠNG BĐT TỔNG HỢP KHÁC

Bài 1: Chứng minh $S=\sum \frac{a}{b}+\frac{\sum a}{\sqrt{\sum a^2}}$

Bài 2: Cho $a,b>0\wedge a+b=1$. Chứng minh rằng: $S=\frac{1}{a^4+b^4}+\frac{2}{a^2b^2}\geq 40$

Bài 3: Cho $a,b,c>0\wedge abc=1$. Chứng minh $\sum \frac{ab}{a^5+b^5+ab}\leq 1$ (IMO shortlist 1996)

485051

[Rias Gremory]

Bài 3, đã có ở đây : http://diendantoanho...shortlist-1996/

[nghiemthanhbach]

http://ebooktoan.com...-tung-bai--2438

Đây là tài liệu các bạn cũng có thể tham khảo đi kèm

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức Schwarz bằng Cauchy

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức Holder cách ngắn nhất 

2 bài giải trí đây

[Rias Gremory]

Thử tổng quát bài toán lên xem có cách giải không:

$\sum \frac{a^{n-1}b^{n-1}}{a^{n-1}b^{n-1}+a^{2n+1}+b^{2n+1}}\leq 1$

[nghiemthanhbach]

bài rinh giải đặc biệt đây (khó quá thì kêu mình, bài này mình hỏi thầy mới ra )

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

Chứng minh $\sqrt[3]{(\frac{3a}{3b+3c-a})^2}+\sqrt[3]{(\frac{3b}{3c+3a-b})^2}+\sqrt[3]{(\frac{3c}{3a+3b-c})^2}\geq \frac{3}{5}\sqrt[3]{45}$

 $\overline{111}$

Chỉ sử dụng AM-GM thì hơi khó, còn nhiều cách khác

[Rias Gremory]

bài rinh giải đặc biệt đây (khó quá thì kêu mình, bài này mình hỏi thầy mới ra )

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

Chứng minh $\sqrt[3]{(\frac{3a}{3b+3c-a})^2}+\sqrt[3]{(\frac{3b}{3c+3a-b})^2}+\sqrt[3]{(\frac{3c}{3a+3b-c})^2}\geq \frac{3}{5}\sqrt[3]{45}$

 $\overline{111}$

Chỉ sử dụng AM-GM thì hơi khó, còn nhiều cách khác

Mai về làm, giờ bàn đến cái bài BĐT mà mình nâng lên tổng quát ấy:

Nâng lên cao hơn nữa là 

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho $abc=1,n\geq 2$. Chứng minh rằng

$\sum \frac{bc}{b^{n}+c^{n}+bc}\leq 1$

[nghiemthanhbach]

Mai về làm, giờ bàn đến cái bài BĐT mà mình nâng lên tổng quát ấy:

Nâng lên cao hơn nữa là 

Cho a,b,c là các số thực dương sao cho $abc=1,n\geq 2$. Chứng minh rằng

$\sum \frac{bc}{b^{n}+c^{n}+bc}\leq 1$

, troll mình vậy bạn, mình mới học quy nạp mà bạn nói làm bài này sao làm , mấy bài biến đổi thì may ra thôi chứ

Bài luyện tay (khó):

$a,b,c\geq 0\wedge a+b+c=1$ Chứng minh $\sqrt{a+b^2}+\sqrt{b+c^2}+\sqrt{c+a^2}< \frac{11}{5}$

Hãy sử dụng CBS nhé , bài này từ sách nên ... hơi khó các bạn cố gắng nhé

[Rias Gremory]

Giải phần tổng quát này luôn:

Ta có:

$a^{n}+b^{n}\geq a^{n-1}b+b^{n-1}a$

$\Rightarrow \sum \frac{bc}{b^{n}+c^{n}+bc}\leq \sum \frac{bc}{b^{n-1}c+c^{n-1}b+bc}=\sum \frac{1}{b^{n-2}+c^{n-2}+1}$

Đặt $x^{3}=a^{n-2};y^{3}=b^{n-2};z^{3}=c^{n-2}\Rightarrow xyz=1$

BĐT $\Rightarrow \sum \frac{1}{y^{3}+z^{3}+1}\leq 1$

Đây là BĐT khá quen thuộc rồi !!

[nghiemthanhbach]

Xin các bác hãy đóng góp bài cho topic chứ một mình tui không post hết được, mọi người ủng hộ đừng để lại phải đóng như lần trước

Cám ơn mọi người đã giúp đỡ nhưng mình cần nhiều hơn nữa ;D, hãy giúp mình

Theo yêu cầu mình sẽ cho dùng đạo hàm luôn (dù nó làm mất vẻ đẹp của bđt T_T)

Bài 1: Chứng minh $\sum a^{\alpha +\beta }\geq \sum c^\alpha a^\beta$ với $a,b,c,\alpha ,\beta >0$

Bài 2: Chứng minh $\frac{\sum a^8}{a^3b^3c^3}\geq \sum \frac{1}{a}$ với $a,b,c> 0$

@SieuNhanvang: Cho mình xin cách thức quy nạp đi, mình mới học phần quy nạp nên còn bỡ ngỡ

@mọi người: Post giùm vài bài với

[Rias Gremory]

Xin các bác hãy đóng góp bài cho topic chứ một mình tui không post hết được, mọi người ủng hộ đừng để lại phải đóng như lần trước

Cám ơn mọi người đã giúp đỡ nhưng mình cần nhiều hơn nữa ;D, hãy giúp mình

Theo yêu cầu mình sẽ cho dùng đạo hàm luôn (dù nó làm mất vẻ đẹp của bđt T_T)

Bài 1: Chứng minh $\sum a^{\alpha +\beta }\geq \sum c^\alpha a^\beta$ với $a,b,c,\alpha ,\beta >0$

Bài 2: Chứng minh $\frac{\sum a^8}{a^3b^3c^3}\geq \sum \frac{1}{a}$ với $a,b,c> 0$

@SieuNhanvang: Cho mình xin cách thức quy nạp đi, mình mới học phần quy nạp nên còn bỡ ngỡ

@mọi người: Post giùm vài bài với

Phuơng pháp quy nạp đã có ở đây: http://diendantoanho...y-nạp-toan-học/

           

[nghiemthanhbach]

Phuơng pháp quy nạp đã có ở đây: http://diendantoanho...y-nạp-toan-học/

           

Buồn quá, chẳng ma nào tham gia topic, chắc lại nhờ Jinbe hộ cái topic quá

Bài bổ sung với đk dương khác 0. Chứng minh $\sum \frac{a^\alpha }{b^\beta +c^\beta }\geq \sum \frac{a^\alpha }{a^\beta +b^\beta }$ Tổng quát của bài ở phân trên của topic ý mà

[Rias Gremory]

Buồn quá, chẳng ma nào tham gia topic, chắc lại nhờ Jinbe hộ cái topic quá

Bài bổ sung với đk dương khác 0. Chứng minh $\sum \frac{a^\alpha }{b^\beta +c^\beta }\geq \sum \frac{a^\alpha }{a^\beta +b^\beta }$ Tổng quát của bài ở phân trên của topic ý mà

Kêu được bạn nào nữa thì cứ kêu... Công nhận topic buồn thật, chả thấy ai ngoài tui với ông!!