Chủ đề này có 3 trả lời

[doanlemanhtung191199]

Áp dụng bất đẳng thức Holder để giải các bài tập sau:

1,       Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:         $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

2,       Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng:   $\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+bc}}\geq \frac{4}{\sum a}$

3,       Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng:      $\sum \left ( \frac{a}{a+b+c} \right )^2\geq \frac{4}{9}$

4,       Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng:      $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}\leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$

5,       Cho $a,b,c,d\geq 0;ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng: $\sum \sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}\geq 15$

[nguyenhongsonk612]

4,       Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng:      $\frac{a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}+\sqrt[4]{abcd}}{4}\leq \sqrt[4]{a.\frac{a+b}{2}.\frac{a+b+c}{3}.\frac{a+b+c+d}{4}}$

Bạn tham khảo cách làm này của bạn Việt Hoàng 99 nhé 

[chardhdmovies]

Áp dụng bất đẳng thức Holder để giải các bài tập sau:

1,       Cho $a,b,c>0$. Chứng minh rằng:         $\sum \sqrt{\frac{a^2}{a^2+7ab+b^2}}\geq 1$

2,       Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh rằng:   $\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+bc}}\geq \frac{4}{\sum a}$

 

1,

đặt $x=\frac{b}{a};y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$nên $xyz=1$ thì bđt cần chứng minh tương đương $\sum \frac{1}{x^2+7x+1}\geq 1$

đặt $x=\frac{n^2p^2}{m^4};y=\frac{p^2m^2}{n^4};z=\frac{m^2n^2}{p^4}$ nên cần chứng minh $\sum \frac{m^4}{\sqrt{m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4}}\geq 1$

áp dụng bđt holder ta có $(\sum \frac{m^4}{\sqrt{m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4}})^2(\sum m(m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4))\geq (m^3+n^3+p^3)^3$

do đó cần chứng minh $( m^3+n^3+p^3)^3\geq \sum m(m^8+7m^4n^2p^2+n^4p^4)$

$\Leftrightarrow \sum (5m^6n^3+2m^3n^3p^3-7m^5n^2p^2)+\sum (m^6n^3-m^4n^4p)\geq 0$

bđt này luôn đúng nên có đpcm

2,

áp dụng bđt holder ta có $(\sum \frac{1}{\sqrt{4a^2+bc}})^2[\sum (b+c)^3(4a^2+bc)]\geq 8(a+b+c)^3$

do đó ta cần chứng minh $(a+b+c)^5\geq 2(b+c)^3(4a^2+bc)$

$\Leftrightarrow \sum a^3(a-b)(a-c)+4\sum ab(a-b)(a^2-b^2)+abc(19\sum a^2-18\sum ab)\geq 0$

điều này luôn đúng nên có đpcm

[chardhdmovies]

Áp dụng bất đẳng thức Holder để giải các bài tập sau:

3,       Cho $a,b,c,d>0$. Chứng minh rằng:      $\sum \left ( \frac{a}{a+b+c} \right )^2\geq \frac{4}{9}$

5,       Cho $a,b,c,d\geq 0;ab+bc+ca>0$. Chứng minh rằng: $\sum \sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}\geq 15$

$3,$

áp dụng $holder$ ta có $VT[\sum a(a+b+c)]^2\geq (\sum a^{\frac{4}{3}})^3$

do đó cần chứng minh $9(\sum a^{\frac{4}{3}})^3\geq 4[\sum a(a+b+c)]^2$

hay $9(\sum a^{\frac{4}{3}})^3\geq 4[(a+c)^2+(b+d)^2+(a+c)(b+d)]$

ta có $a^{\frac{4}{3}}+c^\frac{4}{3}\geq 2(\frac{a+c}{2})^\frac{4}{3};b^\frac{4}{3}+d^\frac{4}{3}\geq 2(\frac{b+d}{2})^\frac{4}{3}$

do đó cần chứng minh $18[(\frac{a+c}{2})^\frac{4}{3}+(\frac{b+d}{2})^\frac{4}{3}]^3\geq [(a+c)^2+(b+d)^2+(a+c)(b+d)]$

đặt $x=(\frac{a+c}{2})^\frac{1}{3};y=(\frac{b+d}{2})^\frac{1}{3}$ do đó cần chứng minh 

$9(x^4+y^4)^3\geq 8(x^6+y^6+x^3y^3)^2\Leftrightarrow 9(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})^3\geq 8(\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{x^3}+1)^2$

đặt $t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ thì cần chứng minh $9(t^2-2)^3\geq 8(t^3-3t+1)^2\Leftrightarrow (t^4+4t^3+6t^2-8t-20)(t-2)^2\geq 0$

điều này luôn đúng nên có đpcm

$5,$

giả sử $c=min\left \{ a;b;c \right \}$

ta chứng minh $(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})^2\geq \frac{4(a+b)}{a +b+2c}$             $*$

áp dụng $holder$ ta có $(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})^2[a^2(b+c)+b^2(c+a)]\geq (a+b)^3$

do đó cần chứng minh $4[ab(a+b)+c(a^2+b^2)]\leq (a+b)^2(a+b+2c)\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$

điều này luôn đúng nên $*$ được chứng minh

áp dụng $minakopski$ ta có 

$\sqrt{1+\frac{48a}{b+c}}+\sqrt{1+\frac{48b}{c+a}}\geq \sqrt{4+48(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}})^2}\geq \sqrt{4+48\frac{4(a+b)}{a+b+2c}}=2\sqrt{1+\frac{48(a+b)}{a+b+2c}}$

nên cần chứng minh $2\sqrt{1+\frac{48(a+b)}{a+b+2c}}+\sqrt{1+\frac{48c}{a+b}}\geq 15$

đặt $\sqrt{1+\frac{48c}{a+b}}=t\Rightarrow 0\leq t\leq 1;\frac{2c}{a+b}=\frac{1+2t^2}{3}$

$1+\frac{48(a+b)}{a+b+2c}=1+\frac{48}{1+\frac{2c}{a+b}}=\frac{2t^2+t+147}{2t^2+t+3}$

do đó ta cần chứng minh $\sqrt{\frac{2t^2+t+147}{2t^2+t+3}}\geq 7-2t\Leftrightarrow 4t(2t-9)(t-1)^2\geq 0$

điều này luôn đúng vì $0\leq t\leq 1$

do đó có đpcm