1. trong tất cả các tứ giác có độ dài ba cạnh bằng nhau và bằng a.Tìm tứ giác có diện tích lớn nhất.
Mình đã giải được.
Cách 1:đẶT $BD=x$. kẺ $AH\perp BD, CK\perp BD$
$S_{ABCD}=\frac{1}{2}x\sqrt{a^2-\frac{x^2}{4}}+\frac{1}{2}x.CK$
$\rightarrow 4S=x\sqrt{4a^2-x^2}+2x.CK$ $\leq x\sqrt{4a^2-x^2}+2ax=\sqrt{3}.\frac{x}{\sqrt{3}}.\sqrt{4a^2-x^2}+\sqrt{3}.\frac{x\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.a\sqrt{2}$ $\rightarrow \frac{4S}{\sqrt{3}}\leq 3a^2(AM-GM)$
$\rightarrow S\leq \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$
Dấu = xảy ra khi tứ giác ABCD là hình thang cân có góc ở đáy = $60^o$
Cách 2: (phản chứng) (mình không vẽ hình)
Giả sử $AB=BC=AD=a, S_{max}$ nhưng BC không vuông góc BD
Vẽ C' sao cho BC' vuông BD và $BC'=a$.
$S_{BC'D}>S_{BCD}\rightarrow S_{ABCD}<S_{AB'CD}$ (VÔ LÝ) nên BC vuông BD.
tương tự dc AD vuông AC.
nên ABCD là tứ giác nt mà $AD=BC=AB \rightarrow \widehat{ADC}=60^o=\widehat{BCD}$
..