Chủ đề này có 2 trả lời

[tramyvodoi]

Cho cấp số cộng $\left \{ a_n \right \}$ với công sai $d$. Tính tổng :
$S_n = \sum_{k = 1}^{n}k \sin a_{k}$

[dark templar]

Cho cấp số cộng $\left \{ a_n \right \}$ với công sai $d$. Tính tổng :
$S_n = \sum_{k = 1}^{n}k \sin a_{k}$

Bài này cũng khá hay đấy
Ta cố định $a_1=x$ và đặt công sai $d$ là $y$.
Viết lại tổng $S_{n}$ dưới dạng sau:
$$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}k\sin{[x+(k-1)y]}=\sum_{j=0}^{n-1}j\sin{(x+jy)}+\sum_{j=0}^{n-1}\sin{(x+jy)}=S_1+S_2$$.
Ta xét các hàm 2 biến $f;g$ liên tục trên $\mathbb{R}$ như sau:
$$f(x;y)=\sum_{k=0}^{n}\cos{(x+ky)}$$
$$g(x;y)=\frac{\sin{\frac{(n+1)y}{2}}\cos{\left(x+\frac{ny}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}$$
Bằng phương pháp hiệu số(xem trong topic này) hay quy nạp hoặc thậm chí là số phức(cách này khá hay nhưng dài nên tý anh post sau ),ta có thể chứng minh được:$f(x;y)=g(x;y)$.
Quay trở lại bài toán,ta dễ dàng suy ra được:
$$S_2=\sum_{j=0}^{n-1}\sin{(x+jy)}=\frac{\sin{\frac{ny}{2}}\sin{\left(x+\frac{(n-1)y}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}$$
Giờ ta chỉ cần tính $S_1$ nữa là xong bài toán.Xét:
$$\frac{\partial f(x;y)}{\partial y}=-\sum_{k=1}^{n}k\sin (x+ky)=\frac{\partial g(x;y)}{\partial y}$$
Suy ra:
$$S_1=\sum_{j=0}^{n-1}j\sin{(x+jy)}=\sum_{j=1}^{n-1}j\sin{(x+jy)}=-\frac{\partial g(x;y)}{\partial y}-n\sin{(x+ny)}$$

Kết luận:
$$\boxed{S_{n}=\frac{\sin{\frac{ny}{2}}\sin{\left(x+\frac{(n-1)y}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}-\frac{\partial g(x;y)}{\partial y}-n\sin{(x+ny)}}$$
Trong đó:$g(x;y)=\frac{\sin{\frac{(n+1)y}{2}}\cos{\left(x+\frac{ny}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}$.

P/s:Cũng bằng cách tương tự,ta cũng có thể tính được:$S_{n}=\sum_{k=1}^{n}k\cos{a_{k}}$.
Ký hiệu $\frac{\partial g(x;y)}{\partial y}$ mang ý nghĩa là lấy đạo hàm cấp 1 của hàm $g(x;y)$ theo biến $y$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-11-2012 - 18:19

[dark templar]

Ta xét các hàm 2 biến $f;g$ liên tục trên $\mathbb{R}$ như sau:
$$f(x;y)=\sum_{k=0}^{n}\cos{(x+ky)}$$
$$g(x;y)=\frac{\sin{\frac{(n+1)y}{2}}\cos{\left(x+\frac{ny}{2} \right)}}{\sin{\frac{y}{2}}}$$
Ta có thể chứng minh được:$f(x;y)=g(x;y)$.

Ta sẽ chứng minh khẳng định này bằng phương pháp số phức
Đặt $A=\cos{x}+i\sin{x};B=\cos{y}+i\sin{y}$.
Xét tổng :
$$S=AB^{0}+AB^{1}+...+AB^{n}=A(1+B+B^2+...+B^{n})=\frac{A(B^{n+1}-1)}{B-1}$$
Mặt khác,theo công thức Moivre: $(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^{n}=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$,ta có:
$AB^{0}=\cos{x}+i\sin{x}$
$AB=(\cos{x}+i\sin{x})(\cos{y}+i\sin{y})=\cos{(x+y)}+i\sin (x+y)$
....
$AB^{n}=(\cos{x}+i\sin{x})(\cos{y}+i\sin y)^{n}=\cos (x+ny)+i\sin (x+ny)$
Vậy:
$$S=(\cos{x}+i\sin x)+..+(\cos (x+ny)+i\sin (x+ny))=\sum_{k=0}^{n}\cos (x+ky)+i\sum_{k=0}^{n}\sin (x+ky)$$
Ta có thể biểu diễn tổng $S$ theo 1 cách khác như sau:
$$S=\frac{A(B^{n+1}-1)}{B-1}=\frac{\cos (x+(n+1)y)-\cos x+i[\sin (x+(n+1)y)-\sin x]}{2\sin{\frac{y}{2}}\left(i\cos \frac{y}{2}-\sin \frac{y}{2} \right)}=\frac{\sin \frac{(n+1)y}{2}}{\sin \frac{y}{2}}\left[\cos \left(x+\frac{ny}{2} \right)+i\sin \left(x+\frac{ny}{2} \right) \right]$$
So sánh phần thực và phần ảo,ta sẽ chứng minh được khẳng định trên và từ đó cũng chứng minh được luôn cả đẳng thức sau:
$$\sum_{k=0}^{n}\sin (x+ky)=\frac{\sin \left(x+\frac{ny}{2} \right)\sin \frac{(n+1)y}{2}}{\sin \frac{y}{2}}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 24-11-2012 - 18:01