7 replies to this topic

[hoctrotoanhoc]

Cho x,y là các số thực không âm sao cho 2x²+2y²-xy=1
tìm MAX và MIN của Q=7(x⁴+y⁴)+4x²y²
(HSG lóp 10 tinh hà tĩnh nam 1998-1999)

[Ispectorgadget]

[]

Edited by Ispectorgadget, 15-11-2011 - 14:11.

[MIM]

Làm vậy không biết đúng không
Từ giả thiết ta có $x^2+y^2=\dfrac{1+xy}{2}$
Q = $7[(x^2+y^2)^2-x^2y^2] +4x^2y^2]$
=$\dfrac{7+14xy-21x^2y^2}{4}+\dfrac{16x^2y^2}{4}=\dfrac{7+14xy-5x^2y^2}{4}$
Lại có $1=2(x^2+y^2)-xy\geq 3xy\Rightarrow\dfrac{1}{3}\geq xy$
Đăt t = xy
$(\dfrac{1}{3}\geq t\geq 0)$
Phương trình trở thành $\dfrac{7+14t-5t^2}{4}$
Q' = $\dfrac{-40t+56}{16}$
Q'=0 thì t = 7/5(loại vì nằm ngoài đoạn [0;1/3]
Lập bàng biến thiên ta có Q min $=\dfrac{7}{4}\Leftrightarrow t=0;Qmax=\dfrac{25}{9}\Leftrightarrow t=\dfrac{1}{3}$

Bạn có nhầm không vậy??
Theo đề bài thì :
Q=$7(x^{4}+y^{4})+4x^{2}y^{2}$
=$7[\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-2x^{2}y^{2}]+4x^{2}y^{2}$
sao lại Q=$7[(x^2+y^2)^2-x^2y^2] +4x^2y^2]$ được???
Mình mới đọc ngang đó thấy thắc mắc thôi nha

[Ispectorgadget]

Bài trên làm nhầm

Từ giả thiết ta có;: $x^2+y^2=\dfrac{1+xy}{2}$
Q = $7[(x^2+y^2)^2-2x^2.y^2]+4x^2y^2]$
Q = $7.[(\dfrac{(1+xy)^2}{4}-2x^2y^2)]+4x^2y^2=7(\dfrac{1+2xy-3x^2y^2}{4})+4x^2y^2=\dfrac{7+14xy-5x^2y^2}{4}$
Đặt t = xy
Q = $\dfrac{7+14t-5t^2}{4}$
Ta có: $2x^2+2y^2-xy=1\Rightarrow \dfrac{1+xy}{2}=x^2+y^2\geq 0\Rightarrow t\geq -1$
$2(x^2+y^2+2xy)-5xy=1=2(x+y)^2-5xy\geq -5xy\Rightarrow xy\geq \dfrac{-1}{5}$
Do đó $1\geq t\geq \dfrac{-1}{5}$
Q' = $\dfrac{64-40t}{16}$
Q' = 0 => t =$\dfrac{8}{5}$
f($\dfrac{8}{5})=\dfrac{83}{20}$
f(1) =4
f($\dfrac{-1}{5}$ =1
Do đó Max Q =$\dfrac{83}{20}$
Min Q = 1

[Duy1995]

Cho 2 số thực x,y thỏa : 2x²+2y²-xy=1
Tìm min, max của A=7(x⁴+y⁴)+4x²y²

[Ispectorgadget]

Bài này giải rồi mà http://diendantoanho...showtopic=64719

[Duy1995]

Bài này giải rồi mà http://diendantoanho...showtopic=64719

cảm ơn bạn, nhưng liệu có cách nào không xài đạo hàm không? Lớp 10 chưa học đạo hàm mà.

[phuonganh_lms]

Cho 2 số thực x,y thỏa : 2x²+2y²-xy=1
Tìm min, max của A=7(x⁴+y⁴)+4x²y²

Dạng toán này có thể được giải theo phương pháp đưa về hệ rồi tìm tham số để hệ có nghiệm.
Gọi T là tập giá trị của A. Ta có $m\in T$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
$$\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} + 2{y^2} - xy = 1\\7({x^4} + {y^4}) + 4{x^2}{y^2} = m\end{array} \right.$$
Đặt $a=x^2+y^2, b=xy$ ta có
$$\left\{ \begin{array}{l}2a - b = 1\\7({a^2} - 2{b^2}) + 4{b^2} = m\end{array} \right.$$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a - 1\\7({a^2} - 2{(2a - 1)^2}) + 4{(2a - 1)^2} = m\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2a - 1\\ - 33{a^2} + 40a - 10 = m\end{array} \right.$
Ta có $ a^2\ge 4b^2 \Leftrightarrow 15a^2-16a+4 \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{2}{5} \le a \le \dfrac{2}{3}$
Từ đó hệ có nghiệm khi mà pt $ -33a^2+40a-10=m$ có nghiệm $\dfrac{2}{5} \le a \le \dfrac{2}{3}$
Điều này xảy ra :
$\left\{ \begin{array}{l}s = {20^2} - 33(10 + m)\ge 0\\\left[ \begin{array}{l}\dfrac{2}{5}\le 33-\sqrt{70-33m} \le \dfrac{2}{3}\\\dfrac{2}{5}\le 33+\sqrt{70-33m}\le \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right.$
Từ đây tìm được đk của m. Và suy ra tập T => Max,min
P/s: Do nháp vội nên có thể có chỗ tính toán sai nên bạn thông cảm. Chủ yếu mình xin giới thiệu pp.