Chủ đề này có 4 trả lời

[CelEstE]

$\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq 3$

[phantomladyvskaitokid]

dat $\left\{\begin{matrix} b+c-a=x & & \\ c+a-b=y & & \\ a+b-c=z & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{y+z}{2} & & \\ b=\frac{z+x}{2} & & \\ c=\frac{x+y}{2} & & \end{matrix}\right.$

bdt can c/m tt $\frac{y+z}{2x}+\frac{z+x}{2y}+\frac{x+y}{2z}\geq 3$

dung theo cauchy

[catbuilts]

$=\frac{a^{2}}{ab+ac-a^{2}}+\frac{b^{2}}{ab+bc-b^{2}}+\frac{c^{2}}{ca+bc-c^{2}}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}$

Quy đồng để kiểm tra BĐT sau $\frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2\left ( ab+bc+ca \right )-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\geq 3$

có điều kiện là 3 cạnh tam giác ko bạn?

[ToanHocLaNiemVui]

Một cách giải khác:
Vì BĐT đã cho là BĐT thuần nhất nên ta chuẩn hoá: $a+b+c=1$. Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với:
$\sum_{cyc} \frac{a}{1-2a}\geq 3$
Ta có: $2(3a-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow a\geq 9a-18a^{2}-2+4a\Leftrightarrow a\geq (9a-2)(1-2a)$
Suy ra: $\frac{a}{1-2a}\geq 9a-2$
Tương tự, ta cũng có: $\frac{b}{1-2b}\geq 9b-2$ và $\frac{c}{1-2c}\geq 9c-2$.
Suy ra: $\sum _{cyc}\frac{a}{1-2a}\geq \sum 9a-2=9-6=3$ (Do $a+b+c=1$).
Dấu "=" xảy ra khi chỉ khi: $a=b=c$.

[Ispectorgadget]

Bài này đã thảo luận ở đây

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 16-04-2012 - 21:52