Chủ đề này có 2 trả lời

[hieutoan]

$a,b,c\geq 0.CMR:\sum a(a-b)(a-c)\geq \sum ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 11-12-2015 - 18:16

[viet nam in my heart]

 

$a,b,c\geq 0.CMR:\sum a(a-b)(a-c)\geq \sum ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$

Cho $a=1,b=c=100$ thì bất đẳng thức sai

Đề đúng chắc phải là $2\sum a(a-b)(a-c)\geq \sum ab(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}$

Khai triển bất đẳng thức tương đương: $2\sum a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+2\sum ab\sqrt{ab} \geq \sum ab\left(a+b\right)$

-Nếu trong $3$ số $a,b,c$ có $2$ số bằng $0$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng

-Nếu chỉ có nhiều nhất $1$ trong $3$ số $a,b,c$ bằng $0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có: $\sqrt{ab} \geq  \frac{2ab}{a+b} \Rightarrow 2ab\sqrt{ab} \geq \frac{4a^2b^2}{a+b}$

Do đó $2\sum ab\sqrt{ab} \geq 4\sum \frac{a^2b^2}{a+b}$ 

Ta đi chứng minh $2\sum a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+\sum \frac{4a^2b^2}{a+b} \geq \sum ab\left(a+b\right)$ (*)

Lại có: $\sum \left(2ab\left(a+b\right)-\dfrac{4a^2b^2}{a+b}\right)=\sum\left(\dfrac{ab\left(a-b\right)^2}{a+b}\right)=\sum\left(\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{ac}{a+c}\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right)$

Do đó bất đẳng thức tương đương $\sum\left(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{a^2}{a+c}\right)\left(a-b\right)\left(a-c\right) \geq 0$

Giả sử $ a \geq b \geq c$ và áp dụng bất đẳng thức $Vornicu \, Schur$ ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc trong 3 số $a,b,c$ có $2$ số bằng nhau và $1$ số bằng $0$

Bằng cách sử dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức $AM-GM$ ta cũng thu được bất đẳng thức sau:

$$a^3 +b^3 +c^3 +3abc \geq ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+bc\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+ca\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 12-12-2015 - 15:28

[hieutoan]

CUNG TUONG DOI HAY