bài 108:Cho các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=$\frac{3}{2}$.Tìm GTNN của biểu thức
P=$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)$
Ta sẽ chứng minh:
$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}$
Thật vậy:
$\left ( a^{2}+1 \right )\left ( b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\=\left ( a^{2}b^{2}+a^{2}+b^{2}+1 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\=\left ( a^{2}b^{2}+\frac{1}{16}+a^{2}+b^{2}+\frac{15}{16} \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\\geq \left ( a^{2}+\frac{1}{2}ab+b^{2}+\frac{15}{16} \right )\left ( c^{2}+1 \right )\\\geq \left [ \frac{5}{8}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{15}{16} \right ]\left ( c^{2}+1 \right )$
Vậy ta chỉ cần chứng minh:
$\left [ \frac{5}{8}\left ( a+b \right )^{2}+\frac{15}{16} \right ]\geq \frac{5}{16}\left ( a+b+c+1 \right )^{2}\\\Leftrightarrow \left [ 2\left ( a+b \right )^{2}+3 \right ]\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left ( a+b+c+1 \right )^{2}$
Đặt $a+b=x$, bằng biến đổi tương đương, dễ chứng minh:
$2x^{2}+3\geq \left ( x+1 \right )^{2}+1$
$\Rightarrow \left ( 2x^{2}+3 \right )\left ( c^{2}+1 \right )\geq \left [ \left ( x+1 \right )^{2}+1 \right ]\left ( 1+c^{2} \right )\\\geq \left ( x+c+1 \right )^{2}\rightarrow Q.E.D$