Thầy Hùng có đưa ra lời giải bài Tuần 3 tháng 1 tại Tuần 4 tháng 1 và kèm theo đó là bài toán mới. Xin trích dẫn lại bài toán mới:
Bài 23. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp với $AC$ cắt $BD$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $EAD$ và $EBC$ cắt nhau tại $F$ khác $E$. Trung trực đoạn thẳng $DB, AC$ lần lượt cắt $FB,FA$ theo thứ tự tại $K,L$. Chứng minh rằng $KL$ chia đôi $AB$.
Screen Shot 2016-01-25 at 6.39.17 am.png
Cách giải của em:
Trước tiên xin phát biểu không chứng minh một số bổ đề quen thuộc: Tứ giác toàn phần $ABCDEF$ có $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$; $M$ là điểm Miquel thì $M$ nằm trên $EF$ và $IM$ vuông góc với $EF$ khi và chỉ khi $ABCD$ nội tiếp.( Bổ đề có thể chứng minh bằng phương tích.
Trở lại bài toán: Gọi $Q$ là giao điểm của $AB$ và $CD$;$P$ là giao điểm của $AD$ và $BC$, theo định lý Brocard thì $OQ$ vuông góc với $PE$
Theo định lý về tâm đẳng phương thì $EF,AD,BC$ đồng quy tại $P$ nên $EF$ vuông góc $OQ$,theo bổ đề và sử dụng phương tích ta suy ra $OF$ vuông góc với$PE$ $(1)$
Từ $A$ kẻ đường thẳng vuông góc với $PE$ cắt trung trực $AC$ tại $X$; Từ $B$ kẻ đường thẳng vuông góc với $PE$ cắt trung trực $BD$ tại $Y$; ta chứng minh $AX=BY$. Điều này tương đương với chứng minh:$\frac{sin \angle PEA}{sin \angle PEB}=\frac{BD}{AC}$. Xét định lý Sin trong tam giác $PAE$ và $PBE$ ta thu được đpcm. $(2)$
Từ (1)(2) áp dụng định lý Thales và định lý Menelaus cho tam giác $MAL$ ta có đpcm.
P/s: Bài toán này có thể có hướng giải khác là chứng minh $PK$ đi qua trung điểm $AB$, rồi tương tự với $PL$ (tiếc là em chưa làm được)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 25-01-2016 - 18:53