Bài 6. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với tâm nội tiếp $I$. $P$ là điểm ở trong tam giác sao cho $PI$ vuông góc với $IA$. Gọi $Q$ đẳng giác $P$ trong tam giác $ABC$. $AQ$ cắt $BC$ tại $E$. Gọi $J$ là trung điểm $IE$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt đường thẳng qua $J$ vuông góc với $IQ$ tại $S$ và cắt $AP$ tại $T$. Chứng minh $I$ là trung điểm đoạn $ST$.
Giải:
Bổ đề 1: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $P,Q$ là hai điểm đẳng giác liên hợp trong tam giác. $AP$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $A$. $QM$ cắt $BC$ tại $N$. Khi đó, $PN$ song song $AQ$.
Chứng minh bổ đề 1: Tham khảo #4 trong link http://www.artofprob...unity/c6h618960
Bổ đề 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $AE,AF$ là hai đường đẳng giác trong tam giác. $AF$ cắt $(O)$ tại $P$ khác $A$. $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$ và $J$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Gọi $M$ là trung điểm $IE$. Khi đó $JM,PI$ cắt nhau tại một điểm thuộc $(O)$.
Chứng minh bổ đề 2:
Gọi $D$ là chân đường phân giác trong tam giác $ABC$. Gọi $N$ là giao điểm $JM, AE$.
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $AEI$ có $J,M,N$ thẳng hàng, suy ra $\frac{JI}{JA}=\frac{NE}{NA}$
Lại có kết quả quen thuộc là $\frac{JI}{JA}=\frac{ID}{IA}$ suy ra $\frac{NE}{NA}=\frac{ID}{IA}$ suy ra $IN\parallel ED$ (theo ĐL Thales đảo)
Gọi $Q$ là giao điểm thứ hai của $AE$ với $(O)$. Gọi $T$ là giao điểm $PI$ với $(O)$. Do $IN$ song song $BC$ suy ra $\angle NIT=\angle QPT=\angle NAT$ suy ra $A,I,N,T$ cùng thuộc một đường tròn. Suy ra $\angle NTI=\angle NAI=\angle JAP=\angle JTI$ suy ra $J,N,T$ thẳng hàng. Suy ra đpcm.
Bổ đề 3: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, tâm nội tiếp $I$. $P$ là điểm trong tam giác sao cho $PI\perp IA$; $Q$ là điểm đẳng giác của $P$ trong tam giác $ABC$. $AP$ cắt $(O)$ tại $T$. Chứng minh rằng $I$ là tâm nội tiếp tam giác $AQT$.
Chứng minh bổ đề 3:
Gọi $E$ là giao điểm $TQ,BC$. Áp dụng bổ đề 1, ta có $PE\parallel AQ$. Gọi $D$ là giao điểm $PE,AI$. Dễ dàng chứng minh $APD$ là tam giác cân tại $P$.
Gọi $J$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. Gọi $L$ là giao điểm $TI$ với $(O)$. $N$ là giao điểm $JL,BC$.
Do $JN.JL=JB^2=JI^2$ nên suy ra $\angle JIN=\angle JLT=\angle JAT=\angle PDI$ suy ra $ PE$ song song $IN$
Dễ thấy $I$ là trung điểm $AD$, gọi $K$ là chân đường phân giác trong tam giác $ABC$, ta có $\frac{DE}{IN}=\frac{KD}{KI}$
Lại có $\frac{IA}{IJ}=\frac{KD}{KI}$ suy ra $\frac{DE}{IN}=\frac{KD}{KI}=\frac{DI}{IJ}$
Xét tam giác $IED$ và tam giác $JNI$ có $\angle JIN=\angle IDE$ và $\frac{DE}{IN}=\frac{DI}{IJ}$
suy ra $\triangle IED\sim \triangle JNI$ suy ra $\angle DIE=\angle IJN$ suy ra $JL\parallel IE$
Suy ra $\angle TIE=\angle JIN (=\angle TLJ)$ suy ra $\angle NIE=\angle JIT$
Mà $\angle IEN=\angle JNE=\angle JTI$ suy ra $\triangle JIT\sim \triangle NIE$. Suy ra $\frac{IN}{IE}=\frac{IJ}{IT}$
suy ra $\triangle INJ \sim \triangle IET$ suy ra $\angle IJN=\angle ITE=\angle ITA$
Suy ra $I$ là tâm nội tiếp tam giác $AQT$.
Ta có đpcm
Trở lại bài toán:
Áp dụng bổ đề 3, gọi $M$ là giao điểm $AP$ với $(O)$ suy ra $I$ là tâm nội tiếp tam giác $AMQ$. Gọi $K$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ của $(O)$. $N$ là giao điểm $KJ$ với $BC$. Chứng minh được $IN \parallel AQ$
Áp dụng bổ đề 2, suy ra $KJ, MI$ cắt nhau tại $L$ trên $(O)$
Ta có $\angle QIK=\angle IQA$; $\angle NIK=\angle QAI$ và $\angle JKA=\angle IMA$
Suy ra $\angle JKA+\angle QIK=90$ suy ra $JK\perp IQ$
Suy ra $S$ thuộc $KL$
Áp dụng định lý con bướm, ta có $IS=IT$
Suy ra đpcm
Hình cho bổ đề 2
http://i.imgur.com/6dH8w0u.jpg
Hình cho bổ đề 3
http://i.imgur.com/0zvLKlR.jpg
Hình bài toán
http://i.imgur.com/hobNKVi.jpg
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi baopbc: 20-03-2016 - 09:00
Hiện hình