Lời giải.
Ta có $\triangle KFH \sim \triangle HEL \; ( \text{g.g})$ nên $\frac{KF}{KH}= \frac{HE}{HL}$ hay $\frac{KF}{FA}= \frac{KH}{HL}$. Ta cũng có $\angle KHL= \angle KFA=135^{\circ}$ suy ra $\triangle KFA \sim \triangle KHL$. Từ đây dẫn đến $FH \cap AL=X$ thì $X \in (KFA), X \in (KHL)$.
Chứng minh tương tư thì nếu $KA \cap HE=Y$ ta sẽ tìm được $Y \in (AEL), Y \in (LKH)$. Như vậy $X,Y,K,H,L$ cùng thuộc một đường tròn.
Gọi $N'= (KFA) \cap (AEL)$.
i) Chứng minh $A$ là tâm nội tiếp của tam giác $N'KL$.
Ta có $\angle KN'A=180^{\circ}- \angle KFA=45^{\circ}= \angle AN'L$ dẫn đến $N'A$ là phân giác của $\angle KNL. \qquad (1)$
Từ $\triangle KFH \sim \triangle HEL$ ta dễ dàng suy ra $\triangle KAF \sim \triangle ALE \; ( \text{c.g.c})$. Do đó $\angle KAL=135^{\circ}$ dẫn đến $\angle XAK= 45^{\circ}= \angle KN'A$. Như vậy $\angle XN'A=90^{\circ}$. Tương tự ta cũng có $\angle YN'A=90^{\circ}$ suy ra $X,N,Y$ thẳng hàng.
Vì $N,Y,X$ thẳng hàng, $H,E,Y$ thẳng hàng và $Y,L,X,H$ cùng thuộc một đường tròn nên ta suy ra $L$ là điểm thoả mãn $\triangle LEH \sim \triangle LAK$ (tính chất của spiral similarity, mình không biết TV của từ này là gì ). Do đó $\angle N'XA= \angle LXN'= \angle LHE= \tfrac 12 \angle B= \angle AKL$. Từ đây ta suy ra $KA$ là phân giác $\angle N'KL. \qquad (2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $A$ là tâm nội tiếp của tam giác $N'KL$.
ii) Chứng minh $N \equiv N'$.
Cũng vì $\angle LXN'= \tfrac 12 \angle B$ (cm trên) và $\angle LXN'= 90^{\circ}- \angle N'AX=90^{\circ}- \angle N'FX$ nên $\angle N'FX= 90^{\circ}- \tfrac 12 \angle B= \angle NFX. \; \; \; \qquad (3)$
Ta có $\angle FKA= \angle FN'A$ và $\angle AN'E=\angle ALE$ mà $\angle ALE+ \angle AKF=45^{\circ}$ (vì $\triangle KFA \sim \triangle AEL$) nên $\angle FN'A+ \angle AN'E=\angle FNE=45^{\circ}= \angle FNE$. Do đó $N,N',E,F$ cùng thuộc một đường tròn. $(4)$.
Từ $(3)$ và $(4)$ ta suy ra $N \equiv N'$.
Như vậy, $A$ chính là tâm nội tiếp của tam giác $NKL$.
Lời giải của mình khá dài, không biết có ai có cách nào gọn hơn không.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 29-08-2015 - 06:18
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).