Cám ơn Khánh về ý tưởng tổng quát thành tỷ số, như vậy nó cũng là bước tiến xa so với bài Iran, mình nhận được lời giải cũng rất ngắn cho bài tổng quát này của bạn Nguyễn Tiến Dũng, hãy đón đọc tối nay. Sau đây là lời giải vector.
Bổ đề. Cho hai vector $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương và các số thực $\alpha,\beta$ bất kỳ thì tồn tại duy nhất $\overrightarrow{u}$ thỏa mãn $\begin{cases}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{u}=\alpha\\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{u}=\beta\end{cases}.$
Chứng minh. Do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương nên biểu diễn của $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$ là duy nhất. Do đó ta có hệ
$$\begin{cases}x\overrightarrow{a}^2+y\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\alpha\\ x\overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}^2=\beta\end{cases}.$$
Đây là hệ tuyến tính định thức khác $0$ (do $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ không cùng phương) nên có nghiệm $x,y$ duy nhất chỉ phụ thuộc $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\alpha,\beta$.
Nhận xét. Bổ đề thực chất là một hệ phương trình tìm vector, trong tọa độ Descartes là một hệ tuyến tính. Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp biểu diễn vector có thể tránh đưa vào tọa độ Descartes.
Giải bài toán. Do $AD,BE,CF$ có cạnh tương ứng song song nên $AD,BE,CF$ đồng quy tại $G$ và $\overrightarrow{GA}=k\overrightarrow{GD},\overrightarrow{GB}=k\overrightarrow{GE},\overrightarrow{GC}=k\overrightarrow{GF}$. Từ $AP=DQ$ suy ra $\overrightarrow{AP}^2=\overrightarrow{DQ}^2$ hay $(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GP})^2=(\overrightarrow{DG}+\overrightarrow{GQ})^2$. Khai triển ta được
$$2\overrightarrow{DG}(\overrightarrow{GQ}-k\overrightarrow{GP})=(k^2-1)DG^2+GP^2-GQ^2.$$
Tương tự thì $2\overrightarrow{EG}(\overrightarrow{GQ}-k\overrightarrow{GP})=(k^2-1)EG^2+GP^2-GQ^2,2\overrightarrow{FG}(\overrightarrow{GQ}-k\overrightarrow{GP})=(k^2-1)FG^2+GP^2-GQ^2.$
Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{GQ}-k\overrightarrow{GP}$. Trừ vế lần lượt các cặp đẳng thức trên cho ta
$$\begin{cases}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{DE}=(k^2-1)(DG^2-EG^2)/2\\ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{DF}=(k^2-1)(DG^2-FG^2)/2\end{cases}.$$
Theo đề bài, rõ ràng $DEF$ là tam giác nên $\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}$ không cùng phương. Theo bổ đề $\overrightarrow{u}$ là vector hằng vì $G$, tam giác $ABC,DEF$ và $k$ cố định. Từ đó đặt $\overrightarrow{u}=(1-k)\overrightarrow{GJ}$ thì $J$ cố định. Dễ thấy $PQ$ đi qua $J$ cố định.
Nhận xét. Sử dụng lời giải này ta có thể không cần tới hình vẽ.
Edited by quanghung86, 29-05-2016 - 12:53.
Thêm một bài thuật ngữ