$\boxed{\text{Lời giải bài toán 45}}$
Gọi $X,Y$ là giao điểm thứ hai của $BI,CI$ với $(O)$
Gọi $R$ là trung điểm của $AD$. Kẻ đường kính AG
Ta có: $(ADE),(ADF0,(O)$ đồng trục nên $M,O,N,R$ thẳng hàng
Theo tính chất đường tròn $Mixtilinear$ thì $D,F,Y$ và $D,E,X$ thẳng hàng và $AXDY$ là tứ giác điều hòa
Theo tính chất của tứ giác điều hòa thì $\widehat{YRM}=90^{o}-\widehat{ARY}=90^{o} -\widehat{XDY}= \widehat{XAY} - 90^{o}$
Lại có: $\widehat{MAC}=90^{o}-\widehat{ADE}=90^{o}-\widehat{CAX}$
Suy ra $\widehat{MAX}=90^{o}$ suy ra $\widehat{YRM}=\widehat{XAY} - 90^{o}=\widehat{YAM}$
Do đó $AYMR$ nội tiếp. Tương tự $AXNR$ nội tiếp
Suy ra $AY \perp YM,AX \perp XN$ suy ra $Y,M,G$ và $X,N,G$ thẳng hàng
Mà $AM \parallel GN (\perp AX)$ và $AN \parallel GM (\perp AY)$ nên $AMGN$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $MN$
Áp dụng định lý $Ceva-Sin$ cho tam giác $AMN$ kết hợp với $\widehat{YMA}=\widehat{YRA}=\widehat{XRA}=\widehat{XNA}$ thì ta chỉ cần chứng minh:
$$\dfrac{sin \widehat{XNM}}{sin \widehat {YMN}}=\dfrac{sin \widehat{OAM}}{sin \widehat {OAN}}$$
Mặt khác $\widehat{XNM}=180^{o}-\widehat{XAD},\widehat{YMN}=180^{o}-\widehat{YAD}$ suy ra $\dfrac{sin \widehat{XNM}}{sin \widehat {YMN}}=\dfrac{sin \widehat{XAD}}{sin \widehat {YAD}}=\dfrac{XD}{YD}=\dfrac{AY}{AX}$
Và $AO$ là trung tuyến của tam giác $AMN$ nên $\dfrac{sin \widehat{OAM}}{sin \widehat {OAN}}=\dfrac{AN}{AM}$
Do đó ta sẽ chứng minh $\dfrac{AN}{AM}=\dfrac{AY}{AX}$ (đúng do hai tam giác vuông $YAM,XAN$ đồng dạng)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 26-06-2016 - 01:54