Cám ơn Bảo về lời giải ngắn gọn, đáp án của thầy dài hơn
Đáp án bài toán 118. Gọi $T$ là trung điểm $BC$, $I$ là giao điểm thứ hai khác $K$ của $AB$ với đường tròn đường kính $BC$. Gọi $D$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$ suy ra $DK=DI$ và $DK^2=DB.DC=\overline{DH}.\overline{DA}$ suy ra $(KI,AH)=-1$ nên $(KA,IH)=2$. Vậy $\dfrac{\overline{IK}}{\overline{IA}}=2\dfrac{\overline{HK}}{\overline{HA}}$ hay $\dfrac{\overline{ID}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{HK}}{\overline{HA}}$ mà dễ chứng minh $\overline{HK}=2\overline{LT}$ suy ra $\dfrac{\overline{ID}}{\overline{IA}}=\dfrac{\overline{HK}}{\overline{HA}}=\dfrac{\overline{TL}}{\overline{TO}}=\dfrac{\overline{QT}}{\overline{TC}}=\dfrac{\overline{TP}}{\overline{TC}}$ suy ra $\dfrac{\overline{ID}}{\overline{DA}}=\dfrac{\overline{TP}}{\overline{PC}}$. Chứng minh tương tự thì $\dfrac{\overline{ID}}{\overline{DA}}=\dfrac{\overline{TQ}}{\overline{QB}}$ suy ra $\dfrac{\overline{TP}}{\overline{PC}}=\dfrac{\overline{TQ}}{\overline{QB}}$. Mặt khác theo định lý Thales thì $\dfrac{\overline{PE}}{\overline{PC}}=\dfrac{\overline{DH}}{\overline{DC}}$ và $\dfrac{\overline{QF}}{\overline{QB}}=\dfrac{\overline{DH}}{\overline{DB}}$. Từ đó, ta có $\dfrac{TP.TQ}{PE.QF}=\dfrac{ID^2}{DA^2}.\dfrac{DB.DC}{DH^2}=1$ suy ra $\dfrac{TP}{FQ}=\dfrac{PE}{QT}$ suy ra $\triangle PET \sim \triangle QFT$ suy ra $\angle FTQ=\angle TEP$ suy ra $\angle ETF=90^\circ$. Gọi $S$ là giao điểm $TE,QF$ suy ra $TS=TE$ và $PE=SQ$. Mà tam giác $FES$ có đường cao $FT$ đồng thời là trung tuyến, suy ra tam giác $FES$ cân tại $F$, suy ra $FE=FS$ suy ra $FE=FS=FQ+QS=FQ+PE$. Từ đó, ta có điều phải chứng minh.