Edited by Minhnksc, 22-12-2017 - 12:16.
#1
Posted 21-12-2017 - 19:20
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$$f(xy).gcd\left(f(x)f(y),f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right)=xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right) \forall x,y \in \mathbb{Q}^+$$
- Zz Isaac Newton Zz and Minhnksc like this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#2
Posted 24-12-2017 - 21:25
Giả sử hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$$f(xy).gcd(f(x)f(y),f(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y}))=xyf(\frac{1}{x})f(\frac{1}{y}) \forall x,y \in \mathbb{Q}^+(1)$$
$T_1(x,\frac{1}{x})\Rightarrow f(1).f(x).f(\frac{1}{x})=f(x).f(\frac{1}{x})\forall x \Rightarrow f(1)=1(do f(x)\in \mathbb{Z}^+)$
$T_1(x,1)\Rightarrow f(x).gcd(f(x),f(\frac{1}{x}))=x.f(\frac{1}{x})\forall x (2)$
$T_2(\frac{1}{x})\Rightarrow f(\frac{1}{x}).gcd(f(x),f(\frac{1}{x}))=\frac{1}{x}.f(x)\forall x$
$\Rightarrow gcd(f(x),f(\frac{1}{x}))=1 \forall x \Rightarrow f(x)=xf(\frac{1}{x})\forall x$
$T_1(a,b)$(với $a,b\in \mathbb{Z}^+$)$\Rightarrow f(ab).gcd(abf(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b}),f(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b}))=abf(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b})$
$\Rightarrow f(ab).f(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b})=abf(\frac{1}{a}).f(\frac{1}{b})\Rightarrow f(ab)=ab\Rightarrow f(x)=x \forall x \in \mathbb{Z}^+$và$f(\frac{1}{x})=1\forall x \in \mathbb{Z}^+$
Xét $x=\frac{p}{q}$ với $p,q\in \mathbb{Z}^+,(p,q)=1$:
$T_1(p,\frac{1}{q})\Rightarrow f(\frac{p}{q}).gcd(f(p)f(\frac{1}{q}),f(\frac{1}{p}).f(q))=\frac{p}{q}.f(\frac{1}{p}).f(q) $
$\Rightarrow f(\frac{p}{q}).gcd(p,q)=\frac{p}{q}.q$
$\Rightarrow f(\frac{p}{q})=p$
Vậy $f(\frac{p}{q})=p\forall p,q\in \mathbb{Z}^+,(p,q)=1$
Edited by namcpnh, 24-12-2017 - 21:27.
- h.vuong_pdl, Zz Isaac Newton Zz and Tea Coffee like this
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
#3
Posted 02-01-2018 - 20:42
#4
Posted 04-01-2018 - 20:57
Đây là Benelux 2017
Chính xác rồi em, nằm trong dự án này của mình.
Edited by namcpnh, 07-01-2018 - 16:00.
Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :
Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.
Wolframalpha đây
Also tagged with one or more of these keywords: pth, namcpnh
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+xy+f(y)) = (f(x)+\frac{1}{2})(f(y)+\frac{1}{2})$Started by Explorer, 07-08-2022 pth, số thực, đơn ánh, toàn ánh |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f(x+f(x+y))=f(x+f(y))+x$Started by poset, 18-05-2021 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(xf(x)+f(y))=f^{2}(x)+y$Started by hoangkimca2k2, 11-06-2018 pth |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Giải tích →
Hàm số - Đạo hàm →
$f(x^{2})+f(xy)=f(x)f(y)+...$Started by hoangkimca2k2, 22-05-2018 pth |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình hàm →
$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$Started by namcpnh, 12-02-2018 pth, namcpnh |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users