Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Phương trình hàm rời rạc qua các kì thi Olympic

pth namcpnh

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 9 trả lời

#1 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-12-2017 - 15:31

Mình lập topic này để cùng các thành viên VMF làm lại các bài Phương trình hàm trên các tập rời rạc (như $\mathbb{Q},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{N}$) trong các kì thi Olympic các nước và các khu vực trên thế giới. Có thể các bạn dễ dàng tìm được lời giải khi search các bài toán này trên mạng nhưng mình không khuyến khích điều đó, mình ủng hộ những bài giải của các bạn và đặc biệt là những mở rộng hay những bài toán tương tự với những bài đã đăng. 

 

Phương trình hàm trên các tập liên tục như tập các số thực, tập các số thực dương hay các khoảng con của tập số thực đã được khai thác và tìm hiểu nhiều, mục tiêu của topic này là tạo một nơi để các bạn trao đổi và tìm các lời giải hay cho các bài Phương trình hàm trên các tập rời rạc. Mình sẽ cố gắng hết mình để quản lý các bài mình đăng, rất mong các bạn sẽ ủng hộ mình để làm Box Phương trình hàm dậy sóng trở lại :))

 

PS: nhanh nhất là 3 ngày mình đăng 1 lần, 1 lần mình đăng 1 đến 2 bài, các bạn cứ thoải mái thảo luận nhé.

 

Thành phố Hồ Chí Minh, 3 tháng 11 năm 2017


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 08-12-2017 - 22:39

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#2 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 03-12-2017 - 15:36

Khu vực/Quốc gia đầu tiên: Baltic 

Ps: Ấn vào Bài ... (ví dụ Bài 1, Bài 2) để đi đến nơi thảo luận bài, không thảo luận ở đây).

 

Bài 1: (P2, Baltic 2011)

 

Cho $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ và các số nguyên $x,\ y$ thỏa mãn điều kiện:

 

\[f(f(x)-y)=f(y)-f(f(x)).\]

 

Chứng minh rằng $f$ bị chặn.

 

Bài 2: (P1, Baltic 2003)

 

Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn:

 

\[f\left(\frac{1}{x}\right)=f(x) \ \ \text{và} \ \ \left(1+\frac{1}{x}\right)f(x)=f(x+1). \]

 

với mọi $x \in \mathbb{Q}^+$.

 

Bài 3: (P11, Baltic 2001)

 

Cho $f$ là hàm số được xác định trên tập các số nguyên dương. Với bất kì $a,\ b >1$ và $d = \text{UCLN}\ (a,b)$ ta có:

\[f(ab)=f(d)\left(f\left(\frac{a}{d}\right)+f\left(\frac{b}{d}\right)\right) \]

 

Xác định các giá trị có thể của $f(2001)$.

 

Bài 4: (P16, Baltic 2001)

 

Cho $f$ là hàm số xác định trên các tập số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện sau: Với mọi $n>1$ tồn tại một số chia nguyên tố $p$ thỏa mãn $f(n)=f\left(\frac{n}{p}\right)-f(p)$. Cho trước $f(2001) = 1$, xác định giá trị của $f(2002)$. 

 

Bài 5: (P11, Baltic 1992)

Đặt $\mathbb{Q}^+$ là tập các số hữu tỉ dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một hàm số $f: \mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ thỏa mãn các điều kiện sau:

 

i. Nếu $ 0<q<1/2$ thì $ f(q)=1+f(q/(1-2q))$.

ii. Nếu $ 1<q\le2$ thì $ f(q)=1+f(q-1)$.

iii. $ f(q)\cdot f(1/q)=1$ với mọi $ q\in Q^+$.

 

Bài 6: (P12, Baltic 1992)

 

Cho $\phi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ là một song ánh và giả sử giới hạn sau đây tồn tại hữu hạn:

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\phi(n)}{n}=L $$

Tìm các giá trị có thể của $L$?

 

Kết thúc các đề ở Baltic, tuần sau mình sẽ để các bạn thảo luận 6 bài PTH rời rạc của Baltic qua các năm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 04-01-2018 - 16:20

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#3 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 21-12-2017 - 19:05

Khu vực Benelux

Ps: Ấn vào Bài ... (ví dụ Bài 1, Bài 2) để đi đến nơi thảo luận bài, không thảo luận ở đây).

Bài 1. (P1 Benelux 2017)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$$f(xy).gcd \left(f(x)f(y),f\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right)\right)=xyf\left(\frac{1}{x}\right)f\left(\frac{1}{y}\right) \forall x,y \in \mathbb{Q}^+$$
Bài 2. (P1 Benelux 2009)
Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+ \rightarrow \mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
i) $f(n)$ là số chính phương $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
ii) $f(m+n)=f(m)+f(n) +2mn \forall m,n \in \mathbb{Z}^+$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 29-12-2017 - 14:10

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#4 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 29-12-2017 - 14:08

Khu vực  Cono Sur:
Bài 1. (P3 Cono Sur Olympiad 1989)
Một số tự nhiên $p$ được gọi là 'hoàn hảo' nếu nó bằng tổng các ước dương của nó ngoại trừ chính nó. Xét hàm số $f(x)$ thỏa mãn:
$f(n)=0$ nếu $n$ là số 'hoàn hảo'
$f(n)=0$ nếu $n$ có chữ số tận cùng là 4
$f(ab)=f(a)+f(b)$
Tính $f(1998)$
Bài 2. (P3 Cono Sur Olympiad 2001) Một hàm số $g$ được xác định trên tập số nguyên dương thỏa mãn:
$g(1)=1$
$\forall n\geq 1$ thì $g(n+1)=g(n)+1$ hay $g(n+1)=g(n)-1$
$\forall n\geq 1$, $g(3n)=g(n)$
$\exists k$ sao cho $g(k)=2001$
Tìm số $k$ nhỏ nhất.

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#5 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 30-12-2017 - 21:33

Khu vực Egypt:

Bài 1) (P1 EMGO 2017) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại cách tô $k$ màu vào tập số nguyên dương và tồn tại một hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn 2 điều kiện sau:

(i) Với mọi số $m$, $n$ được tô cùng màu thì $f(m+n)=f(m)+f(n)$
(ii) Tồn tại vài số $m$, $n$ sao cho $f(m+n)\neq f(m)+f(n)$
Lưu ý: mỗi số nguyên dương được tô đúng 1 trong $k$ màu, hai số $m$, $n$ ở 2 điều kiện không nhất thiết phải trùng nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 02-01-2018 - 21:21

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#6 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 02-01-2018 - 21:22

Đề thi European Mathematical Cup:
Bài 1) (P4 European Mathematical Cup 2014) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Z}^+\Rightarrow\mathbb{Z}^+$ thỏa mãn:
$1)f(mn)=f(m)f(n)\forall m,n \in \mathbb{Z}^+$
$2)\left  \{ 1,2,...,n \right \}=\left  \{  f(1),f(2),...,f(n)\right \}$ với vô số số nguyên dương $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 02-01-2018 - 21:28

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#7 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 04-01-2018 - 21:01

Khu vực Hungary-Israel Binational

Bài 1) P3 (Hungary-Israel Binational 1999) Tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1\forall x,y\in \mathbb{Q}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 04-01-2018 - 21:03

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#8 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 09-01-2018 - 13:22

Đề IberoAmerican:

Bài 1) (P1 IberoAmerican 1990) Xét hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:

a) $f(n)=0$ nếu $n=2^j-1$ với vài giá trị j
b)$f(n+1)=f(n)-1$ với các trường hợp còn lại.
i)Chứng minh với mọi $n\geq0$ thì tồn tại số $k\geq0$ sao cho $f(n)+n=2^k-1$
ii)Tính $f(2^{1990})$
Bài 2) (P2 day 2 IberoAmerican 1989) Xét hàm số $f(x)$ xác định và nhận các giá trị trên $\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$(i)f(1)=1$
$(ii)f(2n+1)=f(2n)+1$
$(iii)f(2n)=3f(n)$
Xác định tập giá trị của $f(x)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 10-01-2018 - 21:24

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#9 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 12-01-2018 - 21:42

Đề thi Nordic:

Bài 1) (P1 Nordic 2014)

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$f(x^2)-f(y^2)=f(x+y)f(x-y)\,\forall x,\,y\in \mathbb{N}\,\text{và}\, x\geq y$$
Bài 2) (P1 Nordic 2010)
Cho hàm số $f:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{Z}^+$ không giảm thỏa mãn:
$f(mn)=f(m)f(n)$ với mọi số $m$ và $n$ nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh $f(8).f(13)\geq f(10)^2$
Bài 3) (P1 Nordic 1999)
Hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập các số nguyên không âm và thỏa mãn:
$f(n)=f(f(n+11))\,\forall n\leqslant 1999$
$f(n)=n-5\,\forall n>1999$
Tìm tất cả các giá trị $n$ để $f(n)=1999$.
Bài 4) (P4 Nordic 1997)
Xét hàm số $f$ xác định và nhận các giá trị trên tập số nguyên không âm thỏa mãn:
$f(2x)=2f(x)$
$f(4x+1)=4f(x)+3$
$f(4x-1)=2f(2x-1)-1$
Chứng minh $f$ đơn ánh.
Bài 5) (P4 Nordic 1996)
Cho hàm số $f$ xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị thực, cho trước số nguyên $a$. Biết:
$f(a)=f(1995)$
$f(a+1)=f(1996)$
$f(a+2)=f(1997)$
$f(n+a)=\frac{f(n)-1}{f(n)+1}\,\forall n$
(i) Chứng minh $f(n+4a)=f(n)\,\forall n$
(ii) Tìm số $a$ nhỏ nhất.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 24-01-2018 - 22:22

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây


#10 namcpnh

namcpnh

    Red Devil

  • Hiệp sỹ
  • 1153 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ho Chi Minh University of Science
  • Sở thích:Abstract and Applied Analysis

Đã gửi 28-01-2018 - 21:00

Đề thi Pan African:

Bài 1) (P3 ngày 2 Pan African 2010)
Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn:
$$f(x+f(y))=f(x)-y\,\forall x,\,y$$
Bài 2)(P3 ngày 2 Pan African 2009)
Xác định tất cả hàm số $f:\mathbb{N}\Rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$f(x^2-y^2)=f(x)f(y)\,\forall x>y$$
Bài 3)(P3 ngày 2 Pan African 2005)
Cho hàm số $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ thỏa mãn: với mọi số nguyên $a$, $b$ khác 0 thì $f(ab)\geq f(a)+f(b)$.
Chứng minh với mọi số nguyên $a$ khác 0, ta luôn có $f(a^n)=nf(a)\,\forall n$ khi và chỉ khi $f(a^2)=2f(a)$
Bài 4)(P1 ngày 1 Pan African 2003)
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$f(n)<f(n+1)\,\forall n$
$f(2)=2$
$f(mn)=f(m)f(n)\,\forall m,n$
Bài 5)(P1 ngày 2 Pan African 2003)
Có tồn tại hay không hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ thỏa mãn:
$$f_{(2003)}(n)=5n\,\forall n$$
với $f_{(0)}(n)=f(n),\,f_{(k)}(n)=f_{k-1}(n)\,\forall k\in \mathbb{N}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namcpnh: 12-02-2018 - 18:12

Cùng chung sức làm chuyên đề hay cho diễn đàn tại :

Dãy số-giới hạn, Đa thức , Hình học , Phương trình hàm , PT-HPT-BPT , Số học.

Wolframalpha đây






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh