cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
#1
Đã gửi 25-03-2013 - 11:53
- Sagittarius912, IloveMaths, Anh Vinh và 3 người khác yêu thích
Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.
Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.
Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.
#2
Đã gửi 25-03-2013 - 12:02
Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1
- pinokio119, Napoleon99, Nguyen Huy Hoang và 1 người khác yêu thích
TLongHV
#3
Đã gửi 25-03-2013 - 12:03
Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1
còn cách làm khác ko mình ko hiểu
- Napoleon99 yêu thích
Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.
Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.
Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.
#4
Đã gửi 25-03-2013 - 12:05
còn cách làm khác ko mình ko hiểu
Bạn chưa hiểu chỗ nào???
TLongHV
#5
Đã gửi 25-03-2013 - 12:09
Bạn chưa hiểu chỗ nào???
XÌ CHƠ và cầu chì 3 số là gì???
Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.
Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.
Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.
#6
Đã gửi 25-03-2013 - 12:13
$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1
BÀi làm sai rồi
- Mai Xuan Son, pinokio119 và bovuotdaiduong thích
#7
Đã gửi 25-03-2013 - 12:17
BÀi làm sai rồi
Bạn có cách làm khác ko chỉ mình với
Những yêu thương nồng cháy khi xưa lúc bên nhau.
Đừng buồn em yêu nhé , rồi thời gian sẽ qua.
Xoá đi bao cảm giác cô đơn lúc xa nhau.
#8
Đã gửi 25-03-2013 - 12:22
BÀi làm sai rồi
Sai chỗ nào hả bạn??mình làm đúng rồi mà, có lẽ bạn nhầm ở đâu đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 25-03-2013 - 12:34
TLongHV
#9
Đã gửi 25-03-2013 - 12:28
cho a,b,c > 0 .Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$
Lời giải 1:
Ta sẽ sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để chứng minh bài toán. Bất đẳng thức được chuyển về dạng tam thức bậc hai như sau:
$$f(a)=a^2+2a(bc-b-c)+(b-c)^2+1\geq 0$$
* Nếu $bc\geq b+c$ thì ta có ngay điều phải chứng minh.
* Xét trường hợp ngược lại $bc\leq b+c$, và điều này tương đương với $(b-1)(c-1)\leq 1$. Khi đó ta tính được biệt thức $\Delta '$ của $f(a)$ là:
$$\Delta '=(bc-b-c)^2-(b-c)^2-1=bc(b-2)(c-2)-1$$
Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Có đúng một trong hai số $b, c$ lớn hơn $2$, số còn lại không lớn hơn $2$. Trong trường hợp này ta có $(b-2)(c-2)\leq 0$ từ đó suy ra $\Delta '\leq 0$.
Trường hợp 2: Cả hai số $b, c$ đều không lớn hơn 2. Khi đó theo bất đẳng thức AM-GM, ta có :
$$\Delta '=bc(2-b)(2-c)-1\leq \left[\frac{b+c+(2-b)+(2-c)}{4}\right]^4-1= 0.$$
Tóm lại trong mọi trường hợp ta đều có $\Delta '\leq 0$. Tức $f(a)\geq 0$ và đây là điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1.$
Lời giải 2: Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số $a, b, c$ sẽ có hai số hoặc cùng $\geq 1$ hoặc cùng $\leq 1$. Giả sử hai số đó là $a, b$ khi đó:
$$(a-1)(b-1)\geq 0.$$
Từ đây, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
$$a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)=(a-b)^2+(c-1)^2+2c(a-1)(b-1)\geq 0$$
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất.
Lời giải 3: Ta sẽ sử dụng phương pháp dồn biến để chứng minh bài toán. Giả sử $c$ là số bé nhất và đặt:
$$f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+2abc+1-2(ab+bc+ca)$$
Ta có:
$$f(a,b,c)-f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(a+b+2\sqrt{ab}-2c)\geq 0$$
Do đó $f(a,b,c)\geq f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)$, vậy ta chỉ cần chứng minh $f(\sqrt{ab},\sqrt{ab},c)\geq 0$.
Thật vậy, nếu đặt $t=\sqrt{ab}$ thì ta có:
$$f(t,t,c)=2t^2+c^2+2t^2c-2(t^2+2tc)+1=(c-1)^2+2c(t-1)^2\geq 0$$
Bài toán được chứng minh xong.
Lời giải 4: Sử dụng lần lượt bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$$2abc+1=abc+abc+1\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq \frac{9abc}{a+b+c}$$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$$a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$$
Thực hiện phép khi triển trực tiếp, ta có bất đẳng thức tương đương với:
$$a^3+b^3+c^3+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
Đúng vì đây chính là bất đẳng thức Schur dạng bậc ba nên ta có điều phải chứng minh.
Nguồn: Bài viết trên diendantoanhoc.net của anh Huyện
- Sagittarius912, mrjackass, Atu và 8 người khác yêu thích
#10
Đã gửi 25-03-2013 - 12:43
Ta có XÌ CHƠ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$, theo cầu chì 3 số thì $(abc+aba+1)(a+b+c)\geq 9abc$, từ đây ta có đ.p.c.m đẳng thức xảy ra khi và chỉ khgi a=b=c=1
Mong bạn đừng dùng những thuật ngữ như thế. Một phần là vì có thể người ra bài là những mem mới, không hiểu được cái thuật ngữ mà bạn nói đâu; một phần là đây cũng là văn hóa toán học đấy, nên tôn trọng cái tên của những bđt quan trọng này
BÀi làm sai rồi
Đúng rồi mà Tuấn
Theo Schur:
$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$ (*)
Biến đổi theo $p=a+b+c$ $q=ab+bc+ca$ $r=abc$ ta có
$(*)\Leftrightarrow p^3+9r\ge 4pq$ (1)
Còn $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow p^2-2q+\frac{9r}{p}\ge 2q$
$\Leftrightarrow p^2+\frac{9r}{p}\ge 4q$ (2)
Dễ thấy (1) chính là (2)
- DarkBlood, Atu, pinokio119 và 2 người khác yêu thích
#11
Đã gửi 25-03-2013 - 17:48
Cách làm chế từ lời giải 2:
-theo nguyên lí dirichlet thì trong 3 số (a-1);(b-1);(c-1) có ít nhất 2 số cùng dấu
*Không mất tính tổng quát nếu gs a-1 và b-1 cùng dấu do đó (a-1)(b-1)$\geq 0$ suy ra ab-a-b+1>=0
*Vì c>0 $\Rightarrow abc+c\geq ac+bc\Rightarrow 2abc\geq 2ac+2bc-2c$..Do đó : $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2bc+2ac-2c+1$.Ta xét:
$a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1-2(ab+bc+ca)=(c-1)^2+(a-b)^2\geq 0$.Do đó $a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq a^2+b^2+c^2+2ac+2bc-2c+1\geq 2(ab+bc+ca)$
- banhgaongonngon, Math269999, datcoi961999 và 3 người khác yêu thích
Quy luật của toán học càng liên hệ tới thực tế càng không chắc chắn, và càng chắc chắn thì càng ít liên hệ tới thực tế.
#12
Đã gửi 11-06-2016 - 09:45
Bài này xin đóng góp cách Chứng minh bằng nguyên lý Dirichlet.
Luôn tồn tại 2 trong 3 số (a-1),(b-1),(c-1) cùng dấu , ko mất tổng quát, giả sử
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow 2c(a-1)(b-1)\geq 0\Leftrightarrow 2abc\geq 2(ac+bc-c)$
Vậy ta chứng minh: $a^2+b^2+c^2+1+2(ac+bc-c)\geq 2(ab+bc+ca)\Leftrightarrow (a-b)^2+(c-1)^2\geq 0$
Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#13
Đã gửi 04-08-2016 - 10:54
các bạn làm hộ mình bài này vs
cmr: a2 + b2 + c2 bé hơn bằng 5
với 0$<=$ a,b,c$$<=$ 2. và a+b+c=3
mình không biết viết mong mọi người thông cảm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gokai Silver: 04-08-2016 - 10:56
#14
Đã gửi 07-08-2016 - 17:02
các bạn làm hộ mình bài này vs
cmr: a2 + b2 + c2 bé hơn bằng 5
với 0$<=$ a,b,c$$<=$ 2. và a+b+c=3
mình không biết viết mong mọi người thông cảm
Ta có: $a,b,c\in [0;2]\implies (2-a)(2-b)(2-c)\ge 0\iff 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\ge 0$
$\iff 2(ab+bc+ca)\ge 4(a+b+c)+abc-8$.
Mà $a+b+c=3,abc\ge 0\implies 2(ab+bc+ca)\ge 4$.
Khi đó: $a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9-2(ab+bc+ca)\le 5(dpcm)$.
Dấu $=$ xảy ra tại $(a;b;c)=(0;1;2)$ và các hoán vị.
- thanhdatqv2003 yêu thích
#15
Đã gửi 29-03-2021 - 18:47
- alexander123 và truonganh2812 thích
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh