$x^3+x^3+1\geq 3x^2$

Tương tự $\Rightarrow 2(\sum x^3)\geq 3.3-3=3(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi x=y=z=1

20.ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=3$

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$

$\frac{a+1}{b^2+1}=a+1-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}\geq a+1-\frac{b^2(a+1)}{2b}=a+1-\frac{ab+b}{2}$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq 3+\frac{\sum a}{2}-\frac{\sum ab}{2}\geq 4.5-\frac{(\sum a)^2}{6}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=1

49. ĐK: $a,b,c> 0$; $(a+b)(b+c)(c+a)=1$

$ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Dễ CM: $(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8abc\Rightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc+(a+b)(b+c)(c+a)\leq (\frac{1}{8}+1)(a+b)(b+c)(c+a)=\frac{9}{8}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8\sum a}$

Lại có: $1=(a+b)(b+c)(c+a)\leq \frac{1}{27}.(2\sum a)^3\Rightarrow \sum a\geq \frac{3}{2}\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{9}{8.\frac{3}{2}}=\frac{3}{4}$(đpcm)

Dấu ''='' xr khi a=b=c=0.5

46. ĐK: $a,b,c> 0$; $a+b+c=1$

$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\geq \sqrt{\frac{3}{2}}$

$VT=\sum \frac{a}{\sqrt{(b+c).\frac{2}{3}}.\sqrt{\frac{3}{2}}}\geq \sqrt{\frac{2}{3}}.\sum \frac{2a}{b+c+\frac{2}{3}}\geq 2.\frac{2}{3}.\frac{(\sum a)^2}{2\sum ab+\frac{2}{3}\sum a}\geq 2.\sqrt{\frac{2}{3}}.\frac{1}{2.\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

50. ĐK: $a,b,c> 0$; $abc=1$

$\frac{a^{3}+b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{3}+c^{3}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{3}+a^{3}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geq 2$

Dễ CM: $\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{1}{3}(a+b)$

Tương tự $\Rightarrow VT\geq \frac{2}{3}(a+b+c)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{1}=VP(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=1

Đặt $\sum a=x, \sum ab=y$

Bất đẳng thức cần cm $\Leftrightarrow x(y-2)\geq 3$

Ta có: $x\geq 3\sqrt[3]{abc}=3, y\geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}=3\Rightarrow x(y-2)\geq 3(đpcm)$

Dấu ''='' xr khi a=b=c=1

1)

ĐK: x$\geq 0$

đặt $t=\sqrt[4]{x} (t\geq 0)$

pt đã cho tương đương với

$2t^{4}-t+\frac{3}{8}=0$

$\Leftrightarrow (t-\frac{1}{2})(2t^{3}+t^{2}+0,5t-\frac{3}{4})=0$

$\Leftrightarrow t=0,5$ (chọn)

$\Leftrightarrow x=\sqrt[4]{\frac{1}{2}}$ (chọn) 

Còn 1 no $t=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{16}$

Ở đây rồi!

Bài 1:

Tìm min A =$3+ \sqrt{2x^2-4x+3}$

min B= $\sqrt{x^2-8x+18}-12$

Bài 2:

Cho x,y,z>0 thỏa mãn $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$

Tính A= $\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}$

$1. A=3+\sqrt{2(x-1)^2+1}\geq 3+1=4, B=\sqrt{(x-4)^2+2}-12\geq \sqrt{2}-12$

$2. GT\Rightarrow 4-y=x+z+\sqrt{xyz}, 4-z=x+y+\sqrt{xyz}\Rightarrow x(4-y)(4-z)=x(x+z+\sqrt{xyz})(x+y+\sqrt{xyz})=x^2(x+y+z+\sqrt{xyz})+x\sqrt{xyz}(x+y+z+\sqrt{xyz})+xyz=(2x+\sqrt{xyz})^2\Rightarrow \sqrt{x(4-y)(4-z)}=2x+\sqrt{xyz}$

Tương tự $\Rightarrow A=2(x+y+z+\sqrt{xyz})=8$

Bài 2: Cho x,y>0; x+y+z=3. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=x³+y³+z³

Bài 3:  Cho x,y>0; a³+b³=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=$\fn_phv \sqrt{x}+\sqrt{y}$

Bài 2: Áp dụng bđt Holder ta có: 

$A.(1+1+1).(1+1+1)\geq (x+y+z)^3=27\Rightarrow A\geq 3\Rightarrow Min A=3\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài 3 là sao hả bn??

 Bài toán số 5: Cho x,y là các số thực thỏa $x^2+2y^2+2xy=4$ Hãy tìm Min và Max của P=$x^2+3y^2+4xy$

 

Đặt $x+y=a\Rightarrow P=a^2+2ay$

Nếu a=0, P=0

Nếu $a\neq 0\Rightarrow y=\frac{P-a^2}{2a}$

$GT\Rightarrow a^2+y^2=4\Rightarrow a^2+\frac{P^2-2Pa^2+a^4}{4a^2}=4\Leftrightarrow 5a^4-2a^2(P+8)+P^2=0$

$\Delta '=-4(P^2-4P-16)\Rightarrow P^2-4P-16\leq 0\Rightarrow 2-2\sqrt{5}\leq P\leq 2+2\sqrt{5}$

Do đó: 

$Min P=2-2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=-\frac{\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{5}$

$Max P=2+2\sqrt{5}\Leftrightarrow x=\pm \frac{\sqrt{100-40\sqrt{5}}}{5}, y=\pm \frac{\sqrt{50-10\sqrt{5}}}{5}$

     cảm ơn bạn nhiều nha!!! mình bị nhầm một tí 

Nhưng đến bước này mình không biết cách giải ra để tìm x!!! @@

$\Leftrightarrow x^2-2x+\frac{537}{8}=0$

$VT=(x-1)^2+\frac{529}{8}>0$ nên pt vô no

∛(x+4) - ∛(x-6) = 4

Em làm đến bước: x² -2x -24 = 1/8  -không biết đến bước này đúng không.

Mong mọi người giúp đỡ!!!!       

Đặt $\sqrt[3]{x+4}=a, \sqrt[3]{x-6}=b\Rightarrow a-b=4; a^3-b^3=10\Rightarrow a^2-2ab+b^2=16, a^2+ab+b^2=2.5\Rightarrow 3ab=-13.5\Rightarrow ab=-4.5\Rightarrow \sqrt[3]{(x+4)(x-6)}=-4.5\Leftrightarrow x^2-2x-24=\frac{-729}{8}$

Hình như bạn nhầm chỗ nào thì phải

Tổng quát cho bài 3:

  Cho a,b,c là các số thực t/m a+b+c=k=const. Tìm Max P= xab+ ybc+zca.

$GT\Rightarrow a=k-(b+c)\Rightarrow P=-xb^2-b(zc-yc-xk+xc)-(zc^2-zck)\Rightarrow xb^2+b(zc-yc-xk+xc)+(zc^2-zck+P)=0$

$\Delta =c^2(z^2+y^2+x^2-2yz-2xy-2zx)+2c(xyk+xzk-x^2k)+x^2k^2-4Px$

$\Delta \geq 0\Rightarrow P\leq \frac{c^2(x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zx)+c(2xyk+2xzk-2x^2k)+x^2k^2}{4x}$

Vì x,y,z,k xác định nên dễ dàng tìm đc Max của biểu thức VP $\Rightarrow$ Max P

Bài này hình như k cần đk a+ b+ c+ abc= 4 vẫn cm đc 

Bài 4: Cho a, b, c> 0 t/m a+b+c=3. Tìm Max P=4ab+ 8bc+ 6ca

Bài 3: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $a+b+c=1$. Tìm GTLN của:
$P=ab+3bc+5ca$

$GT\Rightarrow a=1-(b+c)\Rightarrow P=-b^2+(1-3c)b-5c^2+5c\Leftrightarrow b^2+(3c-1)b+(5c^2-5c+P)=0$

$\Delta =-11c^2+14c+1-4P$

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow -4P\geq 11c^2-14c-1=11(c-\frac{7}{11})^2-\frac{60}{11}\Rightarrow P\leq \frac{15}{11}$

$\Rightarrow Max P=\frac{15}{11}\Leftrightarrow a=\frac{9}{11}, b=\frac{-5}{11}, c=\frac{7}{11}$

Ở đây rồi bn 

$u=x^{2}+y^{2}$ với $x,y$ thỏa mãn$(x^{2}-y^{2}+1)^{2}+4x^{2}y^{2}-x^{2}-y^{2}=0$

$\Leftrightarrow (x^2+y^2)^2-3(x^2+y^2)=-(4x^2+1)\Leftrightarrow u^2-3u\leq -1\Leftrightarrow u^2-3u+1\leq 0\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{5}}{2}\leq u\leq \frac{3+\sqrt{5}}{2}$

$\Rightarrow Min u=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x=0, y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

  $Max u=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\Leftrightarrow x=0, y=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$y=\frac{2x+1}{x^{2}+2}$

$1-y=\frac{(x-1)^2}{x^2+2}\geq 0\Rightarrow Min y=1\Leftrightarrow x=1$

$y+0.5=\frac{(x+2)^2}{2(x^2+2)}\geq 0\Rightarrow Min y=-0.5\Leftrightarrow x=-2$

$y=\frac{x+1}{x^{2}+x+1}$

$\Leftrightarrow yx^2+x(y-1)+(y-1)=0$

Nếu $y\neq 0.\Delta =(1-y)(1+3y)\Rightarrow \frac{-1}{3}\leq y\leq 1$

$\Rightarrow Min y=\frac{-1}{3}\Leftrightarrow \Delta =0, x=\frac{1-y}{2y}=-2$

$Max y=1\Leftrightarrow \Delta =0, x=\frac{1-y}{2y}=0$

Nếu y=0 , x=-1

 Do đó: $Min y=\frac{-1}{3}\Leftrightarrow x=\frac{1-y}{2y}=-2$

             $Max y=1\Leftrightarrow  x=0$

$A=\frac{2}{6x-5-9x^{2}}$

$A=\frac{2}{-(3x-2)^2-1}\geq \frac{2}{-1}=-2\Rightarrow Min A=-2\Leftrightarrow x=\frac{2}{3}$

$C=\frac{2x^{2}+6x+6}{x^{2}+4x+5}$

$C=1+\frac{(x+1)^2}{(x+2)^2+1}\geq 1\Rightarrow Min C=1\Leftrightarrow x=-1$

$B=\frac{3x^{2}-8x+6}{x^{2}-2x+1}$

Đk: $x\neq 1$

$B=2+\frac{(x-2)^2}{(x-1)^2}\geq 2\Rightarrow Min B=2\Leftrightarrow x=2(t/m)$

1. Cách khác: $\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}-(x+3)=\frac{x^3+3x^2-4x+1}{x^2+3}-(x+3)\Leftrightarrow \frac{-7x-8}{\sqrt{x^2-x+1}+x+3}=\frac{-7x-8}{x^2+3}$

Đến đây thì cậu bt giải tiếp rồi nha