Cho hai tam giác $ABC, A_1B_1C_1$. Gọi $A_2, B_2, C_2$ theo thứ tự là trọng tâm tam giác $A_1BC, B_1CA, C_1AB$. $G,G_1,G_2$ theo thứ tự là trọng tâm các tam giác $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$. Chứng minh $G, G_1, G_2$ thẳng hàng.

 

=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Xét tam giác ABC và tam giác DEF; vs M và N lần lượt là 2 trọng tâm

=> $3\vec{MN}=\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF}$  ^(!)

Tương tự vs 2 tam giác ABC và HKG cũng có

 $3\vec{MP}=\vec{AH}+\vec{BK}+\vec{CF}$=$\frac{2}{3}.(\vec{AO}+\vec{BI}+\vec{CL})=\frac{2}{3}\left [ \frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{AE}+\vec{BA}+\vec{BF}+\vec{CD}+\vec{CB}) \right ]=\frac{1}{3}(\vec{AD}+\vec{BE}+\vec{CF})=\vec{MN}$

(vs O;L;I lần lượt là tđ CE;BD;AF)

=> đpcm

- Do vẽ hình trên ấy ko viết đc $A_{1}$ nên đã đổi tên như hình vẽ 

- Để có (!) bạn hãy làm bài toán sau: Cho 2 tam giác ABC vs A'B'C' có G, H lần lượt là trọng tâm và hãy CM: $3\vec{GH}=\vec{AA'}+\vec{BB'}+\vec{CC'}$

- Dễ thấy: $\vec{AO}=\vec{AC}+\vec{AE}$ và .....

- Và cuối cùng là: tui vẽ hình đẹp vãi cả lon( mất gần nửa tiếng)

=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

Gọi $\vec{e}$ là vector vuông góc vs EF

Áp dụng định lí con nhím 

Ta có: $EB.\vec{IZ}+\vec{IY}.FC+\vec{IX}.BC+EF.\vec{e}=\vec{0}$

=> $BC.(\vec{IZ}+\vec{IX}+\vec{IY})+\vec{e}.EF$$=\vec{0}$

Lại có: $\vec{IX}+\vec{IY}+\vec{IZ}=3\vec{IG}$

=>$3BC.\vec{IG}+\vec{e}.EF=\vec{0}$

=> $\vec{IG}$ và $\vec{e}$ cùng phương

=> đpcm

cuối cùng đã tìm đc lời giải

đây

topic lắm bài hay phết, gần như đủ các dạng đấy

Cho góc $\widehat{xOy}$. Các đoạn $AB,CD$ có độ dài bằng nhau và theo thứ tự thuộc các tia $Ox,Oy$. Gọi $I,J$ theo thứ tự là trung điểm $AC,BD$. Chứng minh rằng $IJ$ hoặc cùng phương hoặc vuông góc với phân giác của $\widehat{xOy}$.

=)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))      (sáng ms làm xong) 

Như hình vẽ: lấy OF=OG=AB=CD(F thuộc Ox; G thuộc Oy)

Từ G kẻ đường // vs OF cắt pg góc xOy ở H

Dễ thấy: OFHG là hình thoi

=> $\vec{OF}+\vec{OG}=\vec{OH}$

Lại có $\vec{IJ}=\vec{IA}+\vec{AJ}$=$\vec{IA}+\vec{AB}+\vec{BJ}$

tương tự$\vec{IJ}=\vec{IC}+\vec{CD}+\vec{DJ}$

=> $2\vec{IJ}=\vec{AB}+\vec{CD}$

Mà OF=OG=AB=CD

=> $2\vec{IJ}=\vec{OH}$

=> đpcm

dễ quá cho t xin đáp án vs

ko nghe à, "dễ" quá chưa làm

đây

còn câu a,c thì sao

2 câu còn lại dễ quá\, chưa làm

Câu hỏi:

Xét tam giác ABC

b, Lấy M bất kỳ trong tam giác.CMR: $S_{MBC}.\vec{MA}+S_{MAC}.\vec{MB}+S_{MAB}.\vec{MC}=\vec{0}$

 

Đã kiếm đc lời giải câu b

Gọi A' là gđ giữa AM vs BC. 

Kẻ A'K // vs MB(K thuộc đoạn MC)

Ta thấy $\frac{A'K}{BM}=\frac{A'C}{BC}=> \frac{\vec{KA'}}{\vec{MB}}=\frac{A'C}{BC} => \vec{KA'}=\frac{A'C}{BC}.\vec{MB}$

Tương tự $\vec{MK}=\frac{BA'}{BC}.\vec{MC}$

Ta có: $\vec{MA'}=\vec{MK}+\vec{KA'}=\frac{BA'}{BC}.\vec{MC}+\frac{A'C}{BC}.\vec{MB}$  ^(***)

TIếp: $\frac{BA'}{A'C}=\frac{S_{ABM}}{S_{AMC}}=> \frac{BA'}{BC}=\frac{S_{ABM}}{S_{ABM}+S_{AMC}}$   ⁽¹⁾

và $\frac{A'C}{BC}=\frac{S_{AMC}}{S_{AMC}+S_{AMB}}$     ⁽²⁾

Mặt khác  $\frac{MA'}{MA}=\frac{S_{MBA'}}{S_{ABM}}=\frac{S_{MCA'}}{S_{AMC}}=\frac{S_{A'BM}+S_{A'MC}}{S_{ABM}+S_{AMC}}=\frac{S_{BMC}}{S_{AMB}+S_{AMC}}=>\vec{MA'}=\frac{-S_{BMC}}{S_{ABM}+S_{AMC}}.\vec{MA}$(do MA vs MA' ngược chiều)  ⁽³⁾

Thay (1); (2)và (3)  vào (***)  => đpcm

Câu hỏi:

Xét tam giác ABC

a, Lấy H là trực tâm. CMR: $tgA.\vec{HA}+tgB\vec{HB}+tgC.\vec{HC}=\vec{0}$

b, Lấy M bất kỳ trong tam giác.CMR: $S_{MBC}.\vec{MA}+S_{MAC}.\vec{MB}+S_{MAB}.\vec{MC}=\vec{0}$

c,Lấy I là tâm đt ngt. CMR: $sinA.\vec{IA}+sinB.\vec{IB}+sinC.\vec{IC}=\vec{0}$

Lý thuyết: Rút gọn bt vector trong dấu độ dài bằng cách chọn điểm I sao cho $a.\vec{IA_{1}}+b.\vec{IA_{2}}+c.\vec{IA_{3}}+...+n.\vec{IA_{n}}=\vec{0}$.

Khi đó  đc I xđ 1 cách duy nhất và biểu thức vector trong dấu độ dài là: $\left | (a+b+c+...+n) \vec{MI}\right |$

(chép full sách nâng cao =)))

Lời giải: (chắc vậy)

Dựng I thỏa mãn đk: $\vec{IA}+\vec{IB}+3\vec{IC}=\vec{0}$ => I là điểm cđ duy nhất. Ta kí hiệu h là khoảng cách từ I đến d. 

Ta có: $\left | \vec{MA}+\vec{MB}+3\vec{MC} \right |=6MI\geq 6h$

Câu 5:

$\sum \frac{a^2+4a+1}{a^2+a}=\sum \frac{(a^2+1)+4a}{a(a+1)}\geq \sum \frac{2a+4a}{a(a+1)}=\sum \frac{6}{a+1}\geq 6.\frac{9}{a+b+c+3}\geq 9$

Dấu "=" <=> a=b=c=1

Thầy có thể giải lại bài này đc ko ạ thầy giải tắt quá ạ. Câu b em chưa ra e cảm ơn thầy 

Thầy, nghe ngầu lòi vãi lìn. Mình ms lên lớp 10 thui. Trong diễn đàn còn nhiều god lắm, gọi mình là thầy nghe kì kì sao. Cứ mày tao cho trẻ trung.

b, $AB^2=BH.BC$(hệ thức lượng ...)

$P=2(\frac{OB}{AB})^2-\frac{OH}{BH}=2(\frac{OB^2}{BH.BC})-\frac{OH}{BH}=\frac{OB^2}{BH.BO}-\frac{OH}{BH}=\frac{BO}{BH}-\frac{OH}{BH}=...$

Câu hỏi:

Cho xy=3; x,y thuộc R

Tìm Min A= $x^2+y^2+\frac{3}{x+y+1}$

Cho $x^2+y^2=4$ va z+t=4 Tim max T=xz+yt+zt

T$\leq \frac{x^2+z^2}{2}+\frac{y^2+t^2}{2}+zt=\frac{x^2+y^2}{2}+\frac{z^2+t^2+2tz}{2}=....$

Cho x y z>0 va 6x+3y+2z=xyz Tim max T=$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{y^2+2}}+\frac{3}{\sqrt{z^2+9}}$

Đặt x=a; $b=\frac{y}{2}$;$c=\frac{z}{3}$

=> a+b+c = abc

$T=\sum \frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sum \sqrt{\frac{abc}{(a^2+1)abc}}=\sum \sqrt{\frac{bc}{a(a+b+c)+bc}}=\sum \sqrt{\frac{bc}{(a+c)(a+b)}}\leq \frac{b}{2(a+b)}+\frac{c}{2(a+c)}$+...=1,5

Dấu "=" <=> $x=\sqrt{3};y=2\sqrt{3};z=3\sqrt{3}$

Trc con bạn ms cho mình lm bài này xong.

Câu hỏi:

Cho a,b,c thỏa mãn: $4a^2+b^2+c^2\leq 4$.

CM: $ab+bc+ac\leq 1+\sqrt{3}$

Càng nhiều cách càng tốt, có thêm bài dạng này thì càng tốt ạ! 

Tìm m để phương trình có nghiệm : x³ +x² +x =m(1+x²)²
Mong mọi người giúp em ạ. Đang loay hoay cách lớp 9

Từ pt => $m(1+x^2)^2-x(x^2+1)-x^2=0$

Áp dụng định lý Viet ta có

$\Delta= x^2+4mx^2$ $\geq 0 => 1+4m\geq 0$

Nếu chưa bt gì về định lý Viet thì hãy đọc sgk nhá.

 

Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix}

 x^2&+3y^2  &-3x  &-1  &=0 \\

 x^2&-y^2  &-x  &-4y  &+5  &=0 

\end{matrix}\right.
       
GIÚP VỚI Ạ!!!

 

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2-x-4y+5=0 & \\ x^2+3y^2-3x-1=0 & \end{matrix}\right.$

       
GIÚP VỚI Ạ!!!

 

$x^2-y^2-x-4y+5=0; x^2+3y^2-3x-1=0$

Cộng vế vs vế của 2 PT ta đc: $2(x^2+y^2)-4(x+y)+4=0<=>(x-1)^2+(y-1)^2=0$....

Lần sau nhớ đừng bôi màu pt nhá, nó ko hiện pt lên đâu

Từ gt => $-1\leq x,y\leq 1$

Có $P(y+\sqrt{2})=x$ => $P^2(y^2+2\sqrt{2}y+2)=x^2$ => $(P^2+1)y^2+2\sqrt{2}P^2y+2P^2-1=0$(do $x^2+y^2=1$)

Ta thấy: $\Delta =2P^4-(P^2+1)(2P^2-1)=1-P^2$ => $1\geq P$

Dấu "=" <=> $x=\frac{\sqrt{2}}{2}; y=\frac{-\sqrt{2}}{2}$

Bài 2: 

Ta có x+y+z=$\frac{1}{2}$

=> $\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2yz}+\frac{1}{2xz}=\frac{1}{xyz}$

=>$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2yz}+\frac{1}{2xz}=4=> \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$.....

Bài 3: 

a) Gọi giao của O'O với AK, AB tại I, J. 

Ta có: AI = IK, AJ = JB nên OO' // BK. Mà OO' vuông góc với AB suy ra $\widehat{ABK}=90^0$ hay tam giác ABK vuông.

b) Dễ dàng chứng minh được: $\widehat{AOM}=2\widehat{AOK}; \widehat{AO'N}=2\widehat{AO'K}$ Mà $\widehat{AOK}=\widehat{AO'K}$ $\Rightarrow \widehat{AOM}=\widehat{AO'N}$

c) Gọi giao của AO' với (O) là P. Ta có: $OK$ vuông góc với AM $\Rightarrow OK$ vuông góc với O'P hay M,O,P thẳng hàng.

$\Rightarrow \widehat{COM}=\widehat{AO'N}$ hay $\widehat{COK}=\widehat{KO'D}$

Từ đó ta có: $\Delta COK=\Delta KO'D (c.g.c)$ hay $KC=KD$

Bạn Dũng giải rất chi là hay mn ạ. =))))))

Phần a còn cách khác 

Cho a b c>0 và ab+ac+bc=3 Tìm Min T=$\sum \frac{1+3a}{1+b^2}$

$T=\sum \frac{1+3a}{1+b^2}=\sum( 1+3a-\frac{b^2(1+3a)}{1+b^2})\geq \sum (1+3a-\frac{b^2(1+3a)}{2b})=\sum (1+3a-b-3ab)$

Thay đổi cái tiêu đề đi bạn, bài nào cũng có mỗi câu vậy, bạn có thể copy câu hỏi nên làm tiêu đề cho đỡ tốn thời gian