Ngày 2:

 

 Bài 1 ( 5 điểm ) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn :

$$f(x^4+f(y))=y+f^4(x)~~\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 Bài 2 ( 5 điểm ) Cho các số hữu tỉ $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a+b+c\in \mathbb{Z}\\ (2a-1)^2+(2b-1)^2+(2c-1)^2=3 \end{matrix}\right.$

 Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $m,n$ thỏa mãn $(m,n)=1$ và $abc=\frac{m^2}{n^3}$

 Bài 3 ( 5 điểm ) Cho $\Delta ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc ngoài với $(O)$ tại $D$ đồng thời tiếp xúc với tia đối của các tia $BA,CA$ lần lượt tại $E$ và $F$.

          a) Chứng minh rằng $\frac{DB}{DC}=\frac{1+\cos C}{1+\cos B}$

          b) Giả sử $AJ$ cắt $(O)$ tại $T$ khác $A$. Gọi $P,Q$ lần lượt là các điểm di động trên cung nhỏ $AB,AC$ của $(O)$ sao cho $PQ$ song song với $BC$. Các đường thẳng $AP$ và $BC$ cắt nhau tại $M$. Gọi $I,N$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $EF,IM$. Chứng minh rằng giao điểm của các đường thẳng $NT$ và $IQ$ luôn thuộc một đường cố định.

 Bài 4 ( 5 điểm ) Cho P là một đa giác lồi 2016 cạnh. Một cách chia P thành tam giác bằng các đường chéo không cắt nhau bên trong P được gọi là một cách chia đẹp P

          a) Chứng minh rằng số đường chéo cần phải nối để chia đẹp P theo các cách khác nhau đều bằng nhau

          b) Một tam giác thu được từ phép chia đẹp P nói trên được gọi là một tam giác trong nếu cả 3 cạnh của nó đều là các đường chéo của P. Hỏi có tất cả bao nhiêu cách chia đẹp P mà có đúng một tam giác trong biết rằng hai cách chia là khác nhau nếu có ít nhấu một cặp tam giác không trùng nhau.

                             ----------------------------------HẾT-----------------------------------

               - Thí sinh không sử dụng tài liệu + Máy tính cầm tay

Không liên quan đến bài giải nhưng em lôi con lợn của anh lên đây làm gì

Chứng minh rằng nếu $1+2^n+4^n$ ( với $n \in \mathbb{N}$ ) là số nguyên tố thì $n=3^k$ với $k \in \mathbb{N}$.

PS: Cần một lời giải mới!

Cho hai dường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. Đường thẳng $d$ quay quanh $B$ cắt $(O)$ và $(O')$ tại $C,D$ tương ứng. Gọi $M$ là trung điểm $CD$. $AM$ lại cắt $(O')$ tại $P$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $OM$ cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định. 

Cho $(O)$ là một đường tròn cố định và $A,B$ là hai điểm cố định trên $(O)$ sao cho $A,B,O$ không thẳng hàng. Điểm $C$ di động trên $(O)$ ( $C$ khác $A,B$). Gọi $(O_1), (O_2)$ lần lượt qua $A,B$ và lần lượt tiếp xúc với $BC,AC$ tại $C$. $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $D~~(D \ne C)$. Đường thẳng $AD$ và $BD$ cắt $(O_2)$ , $(O_1)$ tại $E$ và $F$  $(E,F \ne D)$. Chứng minh đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $EF$ luôn đi qua một đường thẳng cố định. 

Cho số nguyên $a$. Chứng minh rằng:

Phương trình: $x^4-7x^3+(a+2)x^2-11x+a=0$ không thể có nhiều hơn $1$ nghiệm nguyên.

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2+y^2+z^2+t^2=10.2^{2008}$

Cho $a,b,c \in (0,1]$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a+b+c} \ge \frac{1}{3}+(1-a)(1-b)(1-c)$$

 Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$ và $OCD$ cắt nhau tại $X$ và $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$ và $OBC$ cắt nhau tại $Y$ và $O$. Các đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Z$ và $T$. Chứng minh rằng nếu $AC \neq BD$ thì bốn điểm $X,Y,Z,T$ cùng nằm trên một đường tròn.

Cho $c=0, a=-4,b=1$, vậy có tồn tại

Thay vào có thỏa mãn đâu

Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình ${{x}^{7}}+x+{{y}^{5}}=2+x{{y}^{5}}$.

Gọi  $a,b,c$ là các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá $10$. Xét hàm số $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ thỏa mãn $|f(2+\sqrt{3})|<0,0001$.Hỏi $2+\sqrt{3}$có thể là nghiệm của $f$ được không ?

Đổi biến $(a,b,c) \rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{x},\frac{1}{z})$. Rồi áp dụng bài toán sau:

ờm thế bạn vào đội tuyển của hà tĩnh không.Mn năm nay lớp 10,năm vừa rồi cũng có đạt giải quốc gia nhưng do điều kiện nên không đi học chuyên được,mn lúc đầu bùn lắm.Nhưng giờ mới lp 10 mn vẫn đang cố gắng để vào đội tuyển của Hà nội đây,dù biết đó là điều khá khó vào lúc này mặc dù mn cũng rất tự tin vào kiến thức.

Nếu đã xác định thì bắt đầu từ lúc này đi! Tự học quan trọng, anh chuẩn bị lên 12 rồi, cũng vừa học dự tuyển được hai tháng thôi!

Một câu hỏi cho các bạn đó.Mau mau đóng góp í kiến nha

Chào bạn, mình là học sinh không chuyên và hiện tại mình đang ôn tập để thi dự tuyển.

Thật sự, một học sinh không chuyên sẽ gặp nhiều áp lực về kiến thức chuyên, học nhiều hơn và cơ hội là rất hiếm, hiếm chứ phải không có!

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=1$

Chứng minh: $\sum \frac{1}{ab+2c^2+2c}\geq \frac{1}{ab+bc+ca}$

Lời giải: 

Thay $a+b+c=1$ vào ta có:

$VT=\sum \frac{1}{4c^2+ab+2ac+2bc}=\sum \frac{1}{(2c+b)(2c+a)}$

$=\sum \frac{(a+b)^2}{(a+b)^2(2c+b)(2c+a)}\geq \frac{4(a+b+c)^2}{\sum (a+b)^2(2c+b)(2c+a)}$

Cần chứng minh: $4(a+b+c)^2(ab+bc+ca)\geq \sum (a+b)^2(2c+a)(2c+b)$

$<=>\sum (a^3b+ab^3)\geq 2\sum a^2b^2$ (Sử dụng AM-GM)

P/s: Ai có cách ngắn hơn cho em xin ạ

Ta có:

$$(ab+bc+ca)^2=(ab)^2+[(bc)^2+(ca)^2]+2abc(a+b+c) \ge (ab)^2+2abc^2+2abc=ab(ab+2c^2+2c)$$

Suy ra:

$$\frac{1}{ab+2c^2+2c} \ge \frac{ab}{(ab+bc+ca)^2}$$

Cho $x,y,z \in \mathbb{R}$. CMR: $6(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)\leq 27xyz+10(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}$

BĐT thuần nhất, chuẩn hóa $a^2+b^2+c^2=9$. 

Khi đó BĐT trở thành:

$2(x+y+z)-xyz \le 10$

Bài toán này khá là nhiều trên diễn đàn:

Ví dụ tại đây: http://diendantoanho...-2xyz-le-xyz10/

Anh Zaraki lấy giùm em một ví dụ cụ thể đi anh! Hai số nào đó về vấn đề chia hết

Trong tài liệu LTE của Phạm Quang Toàn có viết như hình dưới, thắc mắc của mình là $a|b \Leftrightarrow v_p(b) \ge v_p(a)$ có đúng không? Mong được giải đáp, không biết mình có hiểu sai gì về định nghĩa không?
Ví dụ: Xét hai số $A=2.5$ và $B=3.5$ rõ ràng $v_5(B) = v_5(A)$ nhưng $A$ không phải ước của $B$.

Theo ý kiến mình thì: $$a|b \Rightarrow v_p(b) \ge v_p(a)$$

Bài viết của Phạm Quang Toàn như sau:

$x,y,z \in \mathbb{R^+}$ thỏa $x \geq y \geq z$ và $x+y+z=3$

Tìm

$Min$ $P=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y$

Vì $x \ge y \ge z>0$ và $x+y+z=3$, nên: 

$$P \ge \frac{x}{y}+\frac{z}{y}+3y=\frac{x+z}{y}+3y=\frac{3-y}{y}+3y=\frac{3}{y}+3y-1 \ge 6-1=5$$

Dấu $=$ khi $x=y=z=1$.

Cho $n$ là số nguyên dương và các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x^{n}+y^{n}=1$.

Chứng minh rằng: $$(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}).(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+y^{2k}}{1+y^{4k}})< \frac{1}{(1-x)(1-y)}$$

Vào đây cũng thây thích thích đấy chứ...đang địn uot thì gặp phải cái này.... 
Ai thế...

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x,n)$ sao cho đa thức $x^n+2^n+1$ là ước của đa thức $x^{n+1}+2^{n+1}+1$.

Tìm tất cả mọi số thực $n$ sao cho bất đẳng thức :

$\sum \frac{1}{a^{n}(b+c)} \geq \frac{3}{2}$

đúng với bộ $3$ số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$

Hướng Giải:

Trường hợp 1: Xét $n \ge 2$:

Giả sử $a \le b \le c$. Đặt: $a=\frac{1}{x},~b=\frac{1}{y},~c=\frac{1}{z}$. Khi đó $x,y,z>0$ thỏa $xyz=1$.

Khi đó BĐT đã cho trở thành:

$$\sum \frac{x^{n-1}}{y+z}\ge \frac{3}{2}~~~(1)$$

Với giả sử trên dễ thấy $(1)$ đúng theo BĐT Trê-bư-sép, AM-GM và Nesbit.

Vậy $n \ge 2$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét $n \le -1$. Đặt $m=1-n \ge 2$.

Dựa vào Trường hợp 1. Thay $n$ bởi $m$ (các biến đang là $x,y,z$) và biến đổi tương đương về các biến $a,b,c$ sẽ được BĐT đã cho.

Vậy $n \le -1$ cũng thỏa mãn.

Trường hơp 3: Xét các dãy số $(a_t)=t,~(b_t)=t$ và $(c_t)=\frac{1}{t^2}$ với $t \in \mathbb{N}^*$.

Khi đó với: $$S_t=\sum \frac{1}{a_t^n(b_t+c_t)}=\frac{2t^{2-n}}{t^3+1}+\frac{t^{2n-1}}{2}$$ 

*) Xét $-1 < n \le \frac{1}{2}$: $\lim_{t\rightarrow \propto}S_t=0$. Suy ra với $-1 < n <\frac{1}{2}$ không thỏa mãn.

Trường hợp 4: Xét các dãy số $(a_t)=\frac{1}{t} ,~(b_t)=\frac{1}{t}$ và $(c_t)=t^2$ với $t \in \mathbb{N}^*$.

Xét $\frac{1}{2}<n<2$ tương tự TH3 thì trường hợp này cũng không thỏa.

Kết luận