Cho một bảng ô vuông $n \times n$. Có $n$ màu cho trước và mỗi màu được sử dụng để tô cho $n$ ô vuông đơn vị sao cho mỗi ô chỉ được tô bởi $1$ màu. Chứng minh rằng tồn tại $1$ hàng hay cột mà có ít nhất $[\sqrt{n}]$ màu.

Cho bảng 8x8, mỗi ô được tô bởi màu trắng hoặc đen sao cho với mọi hình chữ nhật 2x3 và 3x2 đều có ít nhất 2 ô đen chung cạnh.

Hỏi có ít nhất bao nhiêu ô đen trên bảng?

Bài 3:

Ta có:

${{u}_{1}}=2019$

${{u}_{2}}=\frac{1}{4-3{{u}_{1}}}=\frac{1}{4-3.2019}$

${{u}_{3}}=\frac{1}{4-3{{u}_{2}}}=\frac{1}{4+\frac{3}{3.2019-4}}\Rightarrow 0<{{u}_{3}}<\frac{1}{3}$

Từ đây dùng quy nạp ta chứng minh được: $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$.

Do đó: ${{u}_{n+1}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}\,\,\,,n\ge 1$.

Ta có:  ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=\frac{1}{4-3{{u}_{n}}}-{{u}_{n}}=\frac{\left( 3{{u}_{n}}-1 \right)\left( {{u}_{n}}-1 \right)}{4-3{{u}_{n}}}>0$ (vì $0<{{u}_{n}}<\frac{1}{3}\,\,\,,\forall n\ge 3$)

Suy ra: dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ tăng bắt đầu từ số hạng thứ 3 trở về sau.

Vậy, dãy $\left( {{u}_{n}} \right)$ hội tụ. Giả sử $\lim {{u}_{n}}=a$.

Khi đó: \[a\left( 4-3a \right)=1\Leftrightarrow a=1 \text{ hoặc } a=\frac{1}{3} \Rightarrow a=\frac{1}{3}\].

Vậy, $\lim {{u}_{n}}=\frac{1}{3}$

Bài 1:

Bổ đề: Cho hai dãy số $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ không âm và số thực $q\in (-1;1)$ thỏa mãn: ${{a}_{n+1}}\le q{{a}_{n}}+{{b}_{n}}$. Khi đó nếu $\lim {{b}_{n}}=0$ thì $\lim {{a}_{n}}=0$.

Quay lại bài toán:

Ta có: \[{{u}_{n+1}}=1+{{\left( {{u}_{n}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{n+2499}>1\,\,\,,n\ge 1\].

Ta chứng minh bằng quy nạp ${{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$.

Thật vậy, $1<{{u}_{1}}<\frac{3}{2}$.

Ta giả sử $1<{{u}_{k}}<\frac{3}{2}$ với $k\ge 1$, ta có: \[{{u}_{k+1}}=1+{{\left( {{u}_{k}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{k+2499}<\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\]

Vậy, $1<{{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$. Do đó: $0<{{u}_{n}}-1<\frac{1}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$

Mặt khác: \[{{u}_{n+1}}-1=\left( {{u}_{n}}-1 \right).\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\le \frac{1}{2}\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\].

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra: $\lim {{u}_{n}}=1$.

hình như bạn nhầm chứ điểm rơi xấu quá. thôi bỏ đi

https://www.wolframa...0,z>0,x+y+z=999

bạn xem ở đây nè

$x,y,z \in \mathbb{Z}^+$ mà.

Cố gắng đánh giá đưa về $x+y+z$ kiểu như

$x^4+1+1+1\geq 4x$ rồi đưa còn lại về $4y$ và $4z$

min nó lại nằm ở $x=8, y=24, z=967$.

Mình cũng thử r mà tạch. haiz

may be Am-Gm

cụ thể ntn nhỉ?

Cho $x,y,z \in \mathbb{Z}^+$ và $x+y+z=999$. Tìm GTNN của: $P=x^4+y^3+z^2$.

Đặt các số được chọn là $a_1,a_2,...,a_{n+1}$.

Trong đó: $a_i=2^{m_i}.b_i$ với $b_i$ là số lẻ.

Trong $2n$ số nguyên dương đầu tiên có $n$ số lẻ mà ta lại có $n+1$ số $b_i$ lẻ do đó theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại 2 số $b_h,b_k$ bằng nhau. Khi đó dĩ nhiên trong 2 số $a_h, a_k$ sẽ có số này chia hết cho số kia.

Có 2 cuốn sách văn, 4 cuốn sách toán và 6 cuốn sách anh văn được xếp vào một kệ nằm ngang.

Có bao nhiêu cách sắp xếp để các cuốn cùng môn không đứng cạnh nhau.

So sánh $log_x(x+1)$ và $log_{x+1}(x+2)$ (không dùng đạo hàm)

e cảm ơn mọi người

Mọi người giúp e giải đáp thắc mắc này với.

Trong cách giải bài toán Bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 chiếc phong bì đã ghi địa chỉ, tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng địa chỉ. https://diendantoanh...da-ghi-dịa-chỉ/

Có bạn sử dụng nguyên lí bù trừ.

Theo đó thì $N_{m} = C^{m}_{4}(4 - m)! = \frac{4!}{m!}$ Nhưng e thấy với $m=3$ và $m=4$ thì cách bỏ thư là như nhau vì bỏ đúng 3 lá thì tất nhiên bỏ đúng 4 lá sao $N_3 \ne N_4$ ở trong bài giải v ạ?

Cho tập $S=\{1,2,...,999\}$. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho mọi tập con A của S gồm n phần tử luôn tồn tại 4 phần tử phân biệt a, b, c, d thuộc A sao cho: $a+2b+3c=d$.

1. Có $2n+1$ quả cầu với khối lượng là các số nguyên. Biết rằng cứ $2n$ quả cầu bất kì đều có thể chia thành hai nhóm, mỗi nhóm $n$ quả cầu sao cho tổng khối lượng của các quả cầu trong từng nhóm bằng nhau. Chứng minh rằng khối lượng của tất cả các quả cầu đều như nhau.

2. Trong một lớp có ít nhất 2 bạn quen nhau. Biết rằng nếu 2 bạn có cùng một số lượng người quen thì không có người quen chung. Chứng minh rằng trong lớp có bạn chỉ quen đúng một người.

3. Có $n$ bạn mỗi người cầm 1 quả bóng và chơi trò chơi chuyền bong theo qui tắc họ sẽ chuyền bóng của mình đến người đứng gần mình nhất. Chứng minh rằng không có bạn nào nhận được nhiều hơn $6$ quả bóng.

4. Trên các ô của bàn cờ hình vuông $n \times n$ viết một số nguyên không âm thỏa mãn điều kiện sau: Nếu tại một ô nào đó viết số 0 thì tổng các số được viết trong các ô cùng hàng và cùng cột với ô đó không nhỏ hơn $n$. Chứng minh rằng tổng của số được viết không nhỏ hơn $\dfrac{n^2}2$.

5. Trong một mặt phẳng, cho hữu hạn những điểm. Giữa mỗi cặp ba điểm có thể chọn được hai điểm mà có khoảng cách không lớn hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại hai đường tròn có bán kính 1cm chứa tất cả những điểm đã cho.

Chắc $n$ nguyên dương nhỉ

Có $f(x)=(x+1)^{n}+x^{n}+1=(x^{2}+x+1).Q(x)$

Có $x^{2}+x+1=0$ có 2 nghiệm phức là $x_{1}=\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i;x_{2}=\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

suy ra $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$

=> $(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

và $(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+(\frac{-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)^{n}+1=0$

từ 2 cái này ta có thể dễ dàng suy ra $n$ chẵn (phản chứng $n$ lẻ thì vô lý)

khi $n$ chẵn viết lại được thành $x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+1=0$

mà theo Vi-ét $x_{1}+x_{2}=-1;x_{1}.x_{2}=1$

=> $n=2$

$x_1^n+x_2^n$ chắc gì đã bằng $-1$. Bạn có thể thử với $n=6$ khi đó $x_1^6+x_2^6=2$.

Nếu dùng cách này thì mình làm r. Tới đây ta đưa $x_1,x_2$ về dạng lượng giác $x_1=cos \frac{2\pi}3+i sin\frac{2\pi}3 , \ x_2=cos \frac{-2\pi}3+i sin\frac{-2\pi}3$

Từ đây thế vào $f(x_{1})=0;f(x_{2})=0$ giải pt lượng giác suy ra được là $n=6k+2,\ n=6k+4 ,\ k\in \mathbb{N}$

Mình đang tìm cách không dùng số phức

Mong mọi người giúp đỡ:

1. Biết pt $ax^3+14x^2+2x+2011=0$ có 3 nghiệm phân biệt. Tìm số nghiệm của pt $4(ax^3+14x^2+2x+2011)(3ax+14)=(3ax^2+28x+2)^2$.

2. Tìm n sao cho đa thức $(x+1)^n+x^n+1$ chia hết cho $x^2+x+1$.

3. Cho $m,n \in \mathbb{Z}$ và $m,n \ge 2$. CMR các đa thức:

$$ f(x)=1+x+x^2+...+x^{m-1}$$

$$ g(x)=1+x+x^2+...+x^{n-1}$$

là nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi $m,n$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

$3(ab+bc+ca) \leq (a+b+c)^2=9$ suy ra $ab+bc+ca \leq 3$ và $a+b+c=3$

cảm ơn bạn rất nhiều ^^

Bài 1:

Vì $abc=1$ nên tồn tại các số dương $x,y,z$ sao cho $a=\frac{yz}{x^2};b=\frac{zx}{y^2};c=\frac{xy}{z^2}$

Suy ra $\sum \frac{1}{1+2a}=\sum \frac{1}{1+\dfrac{2yz}{x^2}}=\sum \frac{x^2}{x^2+2yz}\geq \frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$

Tham khảo thêm tại đây: https://khoalinhmath...quen-thuoc.html

Bài 2:

$P=\sum \frac{a}{\sqrt{b}}=\sum \frac{a^2}{a\sqrt{b}}\geq \frac{(a+b+c)^2}{a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}}\geq \frac{18}{a(b+1)+b(c+1)+c(a+1)}=\frac{18}{ab+bc+ca+a+b+c}\geq 3$

Cho mình hỏi là đoạn $\dfrac {18}{ab+bc+ca+a+b+c} \geq 3$ là ntn nhỉ? mình chưa rõ

Cho mình hỏi 2 bài sau với:

1. Cho $a,b,c>0, \ abc=1$. CMR: $ \dfrac 1{1+2a}+ \dfrac 1{1+2b}+ \dfrac 1{1+2c} \geq 1$.

2. Cho $a,b,c>0,\ a+b+c=3$. Tìm GTNN của: $P= \dfrac a{\sqrt b}+\dfrac b{\sqrt c}+\dfrac c{\sqrt a}$

tks bạn

Từ giả thiết suy ra $\sum \frac{xy}{z}=2$

Ta có theo Cauchy-Schwarz: 

$\left ( \sum \sqrt{x-yz} \right )^2=\left ( \sqrt{\frac{x-yz}{x}.x} \right )^2\leq \left ( 3-\sum \frac{xy}{z} \right )(x+y+z)=x+y+z\Rightarrow \sum \sqrt{x-yz}\leq \sqrt{x+y+z}$

Bài này lấy ý tưởng từ bài Iran 1998

Cho $x,y,z>0,\ x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=2xyz$. CMR:

$$ \sqrt{x+y+z} \ge \sqrt{x-yz}+\sqrt{y-zx}+\sqrt{z-xy}$$