Gia su ton tai 4096 day nhi phan nhu vay.

Xet khoang cach Hamming cho boi d(a,b)=|a1-b1|+....+|a24-b24|

Ta co khoang cach giua 2 day bat ki khong it hon 8 . Voi moi day nhi phan a=(a1,..,a24) ta xet tap S(a) cac day co khoang cach den no khong vuot qua 4( hinh cau ban kinh 4).

Xet 2 tap hop bat ki S(a), S(b) ung voi 2 day trong so 4096 day da cho a=(a1,..,a24) va b=(b1,..,b24).

Gia su rang x=(x1,..,x24) S(a) S(b)

Khi do so vi tri cua a sai khac so voi b nhieu nhat la 4, so vi tri cua b sai khac voi x nhieu nhat la 4 . Nhu vay so vi tri sai khac cua a va b khong vuot qua 8. Theo gia thiet thi ta phai co so cac vi tri khac nhau trong 2 chuoi nhi phan a va b dung bang 8.

Nhu vay ta phai co x khac a o cac vi tri (i1,i2,i3,i4) va x khac b o 4 vi tri (i5,i6,i7,i8). Cac chi so nay can phai doi mot khac nhau. Nhan xet rang o cac vi tri nay thi gia tri cua a va b khac nhau nen so luong cac day x nam trong ca S(a) va S(b) khong the vuot qua so cach chon 4 chi so (i1,i2,i3,i4) trong so 8 vi tri khac nhau cua a va b .

Ta co Card( S(a) S(b)) hoac bang 0 hoac khong vuot qua C(4,8)

Voi moi a ta co

Card(S(a))= s=C(0.24) +C(1,24) +C(2,24) +...+ C(4,24) ( khong biet cach danh

cong thuc to hop)

Nhan thay rang hop cua 4096 tap hop nay co luc luong khong it hon

4096. s -C(4,8). 4096(4096-1)/2 > 4096.4096 = 2^24 = so cac day nhi phan do

dai 24 ( mau thuan )

Xet so nguyen to p > 2002.(2002 -1) /2

Xet cac so co dang

(2.p)! + k.p voi k=1,..,2002.

De thay tong mot so so bat ki trong day nay chia het cho p nhung khong the chia het cho p^2 nen khong the la luy thua

http://diendantoanho...t=0

Day la huong di ma lehoan da dua ra nhung minh khong cm duoc la nghich dao cac luy thua co tong la huu han

Nhung voi bai toan kha don gian la tim 2002 so nhu tren chang nhe cung dung bai toan tong quat day. Voi lai toi dam chac la voi bai toan 2002 so nay khong the nghi den bai toan tong quat ve mat do day, tru phi da gap o dau do roi.

Cach giai nay co ve sai roi do bdt o cuoi cung khong dung, ai co the kiem tra ho xem BDT so o cuoi loi giai co dung khong vay

Nhan xet rang a la uoc cua b^2+1 nen a khong the co uoc nguyen to dang 4.k+3.

Do do a co the bieu dien duoi dang tong 2 binh phuong. Gia su rang

a=p^2 + q^2

Xet phuong trinh bac 2

a.X^2 + 2.b.X + c - 1/(p^2) =0

ta co = (q/p)^2 do a.c=b^2+1

Lay n=p va m=n.X0 trong do X0 la mot nghiem huu ti duong cua phuong trinh bac 2 tren

ta de dang thay rang bieu thuc o de bai duoc thoa man( chu y rang do b/a<0 nen

phuong trinh bac 2 tren luon co it nhat mot nghiem huu ti duong theo dinh ly Viet)

Ta co (a-b).( a^2 +ab+b^2) p , tu day de dang thay rang ta phai co

a^2+ab+ b^2 p

Tuong tu co

a^2+ac+ c^2 p

Tru theo ve ta co (b-c)(a+b+c) p, nhu vay phai co a+b+c p

Do do a+b+c bang p hoac 2.p (1)

Ta co cac so a^2+ab+ b^2 ,a^2+ac+ c^2 ,c^2+bc+ b^2 deu chia het cho p. Nhan cac

so nay voi 2 roi cong lai voi chu y la a+b+c chia het cho p ta rut ra duoc

3.(a^2+b^2+c^2) p . De thay rang o day p>3 nen ta phai co

(a^2+b^2+c^2) p (2)

Tu (1) va (2) de dang co duoc ket luan cua bai toan

Toi thi sap di ngu day. Dao nay di thuc tap nen toi ve chi co choi dien tu voi lai vao dien dan choi thoi

Lay n co dang k.(p-1)+1

De y rang

a^2n- a^2 = a^2.( a^(2.k.(p-1)) - 1 ) p

Ket hop voi a^2+b^2+c^2 p ta rut ra duoc

a^2n+ b^2n + c^2n p

Tu day de co dpcm

Ta se cm la neu a=min{a,b,c,d} thi

f(a,b,c,d) f(1-a,b,c,d)

Xet hieu cua 2 so nay , dieu nay tuong duong voi

(2a-1) .(a^2-a+1) +(b^4+ c^4+d^4) .[ 1/a- 1/(1-a) ] 0

(1-2.a).[ b^4+c^4+d^4 - a.(1-a)(a^2-a+1) ] 0

Ta co a=min{b,c,d} nen bieu thuc trong ngoac vuong khong nho hon

2.a^4+ 2.a^3 -2.a^2+a =a.(2.a^3 + 2.a^2 -2.a+1) >0

Vay neu ta co a (0,1/2) va a=min{a,b,c,d} thi

f(a,b,c,d) f(1-a,b,c,d)

Bay gio ta co min{ 1-a,b,c,d} la mot trong 3 so b,c,d nam trong khoang (0,1/2) , gia

su la b ta co

f(1-a,b,c,d) : geq f(1-a,1-b,c,d)

Cu tiep tuc nhu vay sau 2 lan nua ta se co duoc

f(a,b,c,d) : geq f(1-a,1-b,1-c,1-d)

Nhung neu ta them so 0 vao truoc , tuc la co a0=0 thi day nay giu nguyen cac gia tri sau do va lai tuan hoan theo mod 23( Day la bai toan quen thuoc )

Ta hay chia bang vuong nay thanh cac quan domino 1x2 sao cho trong bat ki hinh vuong 2x2 nao cung chua it nhat mot quan domino 1x2. ( Cu mo mam tren giay nhap la co the tim thay khong kho khan lam )

Cu moi mot lan nguoi thu nhat to mau mot o thuoc mot quan domino 1x2 nao day thi nguoi thu 2 to mau o con lai cua quan domino, nhu vay moi hinh vuong 2x2 deu phai chua it nhat mot o duoc to boi nguoi thu 2. Nhu vay nguoi di sau luon thang

Cau dau kha la de, gioi han la 0.

Ta co the cm bang qui nap la an< n^a + c voi a, c la 2 hang so va a<1. Chi can chon a va c sao cho

n^a +c < (n/2)^a + (n/3)^a +2.c voi moi n tu nhien, ro rang neu voi a nho hon 1 ta chon c du lon thi se co dieu nay.

Nhu vay ta co duoc an/n co gioi han la 0



Cau sau do tong 1/2+1/3+1/6=1 nen chiu khong giai quyet duoc

Dể ý rằng


Điều này cho ta gợi ý về dãy truy hồicấp 2



Trong đó d là hằng số mà ta sẽ tìm được theo:
Ta có dược d=b

Dãy ở đề bài chính là dãy truy hồi cấp 2 cho bởi



Là dãy các số nguyên

Dể ý rằng 

  [TeX] b_{k+1}^2 - b_{k}.b_{k+2}= (a^2)^k[/TeX]
Điều này cho ta gợi ý về dãy truy hồicấp 2 

   [TeX]b_{k+1}= d. b_{k} - a^2. b_{k-1}[/TeX]

Trong đó d là hằng số mà ta sẽ tìm được theo: [TeX]b_3= b.(b^2-2.a^2)[/TeX]
Ta có dược d=b

Dãy ở đề bài chính là dãy truy hồi cấp 2 cho bởi

 [TeX]b_{k+1}=b.b_{k} - a^2. b_{k-1}[/TeX]

Là dãy các số nguyên

So cac cach doi tien chinh bang so cac bo (a1,...,ak) sao cho

a1+2.a2+...+k.ak=n

Xet khai trien (x+x^2+...+x^k)^m ta co trong khai trien nay thi so cac bo (a1,..,ak)

co tong bang m va a1+2.a2+...+k.ak=n bang he so cua x^n trong khai trien nay

Do voi bo a1,..,ak thoa man de bai thi tong cua chung khong vuot qua n nen ta co duoc

so cac bo so can tinh se la he so cua x^n trong khai trien cua tong

f(x)= (x+x^2+..+x^k) + (x+x^2+..+x^k)^2+....+(x+x^2+..+x^k)^n

Toi nghi co the sua lai la ton tai k,a,c sao cho

an< k.n^a+c voi moi n


Cai ta can co o day la

k.(n/2)^a + k.(n/3)^a +c < k.n^a

Chon c sao cho a0< c va k du lon sao cho bat dang thuc o tren dung voi moi n

Hint : ta co nhan xet sau

Xet 2 phan hoach tap da cho thanh 2 tap con 100 phan tu A B , C D . Sau mot so huu han buoc bien doi bang cach doi cho 2 phan tu nao do cua 2 tap hop trong phan hoach thi tu phan hoach A B ta luon co duoc phan hoach C D

Do vay mau chot nam o viec cm dang thuc xay ra khi cach phan chia thu 2 co duoc tu cach phan chia thu nhat bang cach hoan vi 2 phan tu nao do trong 2 day a1<..<a100 va
b1<..<b100

Ta co




Nhu vay




De thay VP=

Hoi truoc toi co giai bai nay roi. Truoc het ban hay dua bieu thuc nay ve dang cong thuc tong quat cua day truy hoi cap 2. Sau do de tim f(n) thi hay binh phuong so hang cua day truy hoi cap 2 se de tinh f(n) hon . Ket qua nhu sau

Neu n le thi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?d_n khi chia cho 4 la

1,2,1,2,1,2,....

Nhu vay ta thay rang so mu cua 2 trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?d_n la 0 neu n chan va 1 neu n le

Tu day ta co duoc cong thuc tinh so mu cua 2 trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{k-1}{2} )

Viec tinh toan chi tiet xin moi moi nguoi tinh tiep

Xét đa thức $P(x)=(1+x^{a_1}).........(1+x^{a_n})$

 

 Nhận xét rằng khi khai triển tích này ra  thì ta sẽ được các hạng tử dạng : $ x^{a_{ i_{1}} +...+ a_{i_{k}}}$

( Tổng của $k$ số khác nhau bất kỳ trong tập $n$ số ban đầu )

Từ giả thuyết của bài toán, ta có tất cả các hạng tử này đều có số mũ khác nhau và có $2^n $;$2^{n-1}$;...

 

Kết hợp với nhận xét bậc của $P(x)$ chính là tổng của $n$ số đã cho ta có đpcm.

Xet k 52. Gia su khong ton tai a,b sao cho a+b=k.

Nhan xet rang co it nhat 26 so thuoc M va khong vuot qua 51.



Goi cac so nay la

va khong thuoc tap M . Nhu vay luc luong tap M khong vuot qua duoc 74 ( mau thuan)


Xet k 49 ta co so cac so khong nho hon 50 trong tap hop M khong nho hon 26, mot

cach tuong tu ta cung co duoc dpcm

Trên bảng cho 1 số số thực,mỗi một lần ta lấy 2 số thực trên bảng là $u$ và $v$ nào đó,xóa 2 số này đi và thêm vào bảng số $uv-u-v$. CMR: Với mọi cách xóa thì số cuối cùng còn lại trên bảng đều như nhau.

 

 

Lay dao ham 2 ve ta duoc



Nhu vay voi k nguyen nao do

Do do

De dang thay duoc P(x) co dang

Thu lai ta thay chi co n=0 la ton tai da thuc

Dung qui nap theo n, nhan xet la neu lay n-1 so tru di so nho nhat thi cac so nhan duoc cung thoa man dieu kien o de bai

f(0)=0

Neu f don dieu tang ta cm duoc f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=-2 . Tiep theo ta cm duoc ton tai vo han k sao cho f(k)=k ( ca nguyen duong va nguyen am). Nhu vay f(x)=x

Neu f don dieu giam ta cm duoc f(x)=-x