Có một số topic hay của anh Huyện hay anh Khuê bị hỏng link ạ.
Ví dụ như topic Bổ đề hoán vị của anh Khuê https://diendantoanh...dfracbcdfracca/
Đến lúc 17h00 anh vẫn vào được mà.
Có 55 mục bởi E. Galois (Tìm giới hạn từ 28-04-2020)
Đã gửi bởi E. Galois on 22-03-2021 - 17:08 trong Hướng dẫn - Trợ giúp - Giải đáp thắc mắc khi sử dụng Diễn đàn
Có một số topic hay của anh Huyện hay anh Khuê bị hỏng link ạ.
Ví dụ như topic Bổ đề hoán vị của anh Khuê https://diendantoanh...dfracbcdfracca/
Đến lúc 17h00 anh vẫn vào được mà.
Đã gửi bởi E. Galois on 30-03-2021 - 17:27 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác
Một lời giải cho bài toán trên được trình bày từ trang 47 trong tài liệu này ạ The-luanvan-2018.pdf 798.17K 205 Số lần tải
Đã gửi bởi E. Galois on 31-03-2021 - 20:29 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác
Phải dùng gradient descent như thế thì bài toán này có nghiệm giải tích chính xác không anh?
Hic, rất tiếc là không có nghiệm giải tích chính xác.
Đã gửi bởi E. Galois on 04-07-2021 - 22:54 trong Hàm số - Đạo hàm
$y'=\dfrac{-x^{2}+6x+5}{\left(x^{2}+x+2\right)^{2}}$
$y'=0 \Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{14}$
Vẽ bảng biến thiên của $y$ ta thấy $\dfrac{-7-2\sqrt{14}}{7}\leq y\leq \dfrac{-7+2\sqrt{14}}{7}$
Nên các điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ nguyên $y=-2;-1;0$
Từ đó tìm đc các điểm $A(-1;-2)$ ; $B\left(\frac{-1}{2};-1\right)$ ; $C\left(-1-\sqrt{2};-1\right)$ ; $D\left(-1+\sqrt{2};-1\right)$ ; $E(3;0)$
Phần màu đỏ có thể làm bằng cách sơ cấp hơn là
$$y=\frac{x-3}{x^{2}+x+2} \Leftrightarrow yx^2 + (y-1)x+2y+3 = 0 \quad (1)$$
Ta cần tìm $y \in \mathbb{Z}$ để phương trình (1) có nghiệm. Xét hai trường hợp
*TH1: $y=0$
*TH2: $y \neq 0$ thì $\Delta \geq 0$.
Đã gửi bởi E. Galois on 29-04-2022 - 21:25 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác
Cho em hỏi nguyên tắc thi đấu này đã được xây dựng như thế nào?—
Mình cũng là một trong những người tham gia xây dựng luật chơi. Nguyên tắc chung có thể kể với mấy gạch đầu dòng như sau:
- Sau mỗi trận, phải có một số người chơi bị loại.
- Số người bị loại ở trận sau không ít hơn số người bị loại ở trận trước
- Đến trận đấu cuối cùng, chỉ còn đúng 10 người.
- Thứ tự ưu tiên bị loại: người ít sôi nổi phải bị loại trước người ít điểm
Thật ra MHS, MSS, MO rất hấp dẫn, nó cũng góp phần xây dựng thế hệ min, mod ngày nay. Tuy nhiên, các cuộc thi này không tiếp tục được do khủng hoảng công tác trọng tài ở thời điểm đó
Đã gửi bởi E. Galois on 06-07-2022 - 21:47 trong Dành cho giáo viên các cấp
SKKN: Hướng dẫn học sinh giải bài toán tổ hợp tạo số bằng lập trình PASCAL
Đã gửi bởi E. Galois on 08-07-2022 - 23:55 trong Dành cho giáo viên các cấp
Tuyệt vời! Không cho ra trang chủ hơi phí anh Thế à!
P/s: Chúc mừng anh Thế xong Thạc sỹ
Thật ra anh đã xong thạc sỹ từ năm 2018 rồi. Luận văn của anh về Tối ưu trên đa tạp Riemann, không phải cái SKKN này đâu.
Cái SKKN này chỉ được người chấm của Sở GD đánh giá loại TB (59đ/100đ) thôi. Nhưng anh thấy công sức mình bỏ ra, dù là không được đánh giá cao, vẫn nên chia sẻ với mọi người bằng một chút tự hào nho nhỏ, của nhà trồng được mà.
Đã gửi bởi E. Galois on 09-07-2022 - 00:01 trong Góc giao lưu
Đã gửi bởi E. Galois on 09-07-2022 - 14:38 trong Dãy số - Giới hạn
Cách giải sau đây em đọc ở trên mạng. Đây chắc là cách sơ cấp nhất
Trong mặt phẳng với điểm O cố định, dựng đường tròn $c_1$ tâm $I_1$, bán kính $r_1=OI_1=\dfrac{2}{\pi}$. Gọi $A_1^1A_2^1$ là đường kính của đường tròn $c_1$.
Khi đó:
$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}$$
Gọi $OI_2$ là một đường kính của $c_1$. Dựng đường tròn $c_2$ tâm $I_2$, bán kính $r_2=OI_2$. Các đường thẳng $I_2A_1^1$ và $I_2A_2^1$ cắt đường tròn $c_2$ tại bốn điểm $A_1^2,...,A_4^2$
Khi đó:
$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\dfrac{1}{{OA_1^1}^2}+\dfrac{1}{{OA_2^1}^2}=\sum_{i=1}^4 \dfrac{1}{{OA_i^2}^2}$$
Gọi $OI_3$ là một đường kính của $c_2$. Dựng đường tròn $c_3$ tâm $I_3$, bán kính $r_3=OI_3$. Các đường thẳng $I_3A_i^2$ cắt đường tròn $c_3$ tại tám điểm $A_1^3,...,A_8^3$
Khi đó:
$$\dfrac{1}{{OI_1}^2}=\sum_{i=1}^8 \dfrac{1}{{OA_i^3}^2}$$
Ta được dãy các đường tròn $(c_n)$ với các điểm $A_i^n, i=1, ..., 2^n$ thỏa mãn điều kiện:
$1) r_{n+1}=2r_n, \forall n \geq 1$
$2) \widehat{A_i^{n+1} I_{n+1} A_{i+1}^{n+1}} = \frac{1}{2} \widehat{A_i^{n} I_{n} A_{i+1}^{n}}, \quad i = 1,2,..., 2^n -1, \quad \forall n \geq 1$
Do đó độ dài các cung $A_i^n A_{i+1}^n$ luôn không đổi và bằng 2.
Đồng thời ta cũng có:
$$ \dfrac{1}{{OI_1}^2}=\sum_{i=1}^{2^n} \dfrac{1}{{OA_i^n}^2} \quad \quad (1)$$
Cho $n \to + \infty$, đường tròn $c_n$ trở thành đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $OI_1$, ta coi đó là một trục số gốc $O$, các điểm $A_i^n$ luôn cách nhau 2 đơn vị, trở thành các điểm $\pm 1, \pm 3, \pm 5, ...$
Khi đó $(1)$ trở thành:
$$\dfrac{\pi^2}{8}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n-1)^2}=S_{le}$$
Chú ý rằng:
$$S_{chan}=\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{(2n)^2}=\dfrac{1}{4} =\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$
Suy ra:
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}= \dfrac{4}{3} S_{le} =\dfrac{\pi^2}{6}$$
Đã gửi bởi E. Galois on 09-07-2022 - 15:05 trong Dành cho giáo viên các cấp
Có một điều anh cũng không hiểu là những SKKN được đánh giá khá, tốt là những SKKN kiểu như: phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn, phương pháp giải phương trình vô tỉ, tìm cực trị số phức bằng phương pháp hình học, phương pháp tìm cực trị của hàm số bậc ba, ...
Theo anh hiểu thì SKKN cũng như một luận văn hay NCKH nói chung, phải có tính mới, tính sáng tạo. Theo anh hiểu những nội dung kia, sao người ta vẫn tìm được cái mới trong nó nhỉ? Tra google những nội dung đó thì có thể thấy hàng tá các bài báo, sáng kiến. Họ làm thế nào mà vẫn tìm ra được cái mới ở một rừng các phương pháp giải của toán sơ cấp đã phổ biến. Liệu có phải cái nhìn của anh quá phiến diện không? Hay là họ tìm được một thứ mới thật nhỉ? Anh xin các SKKN đó để đọc mà chưa được.
Đã gửi bởi E. Galois on 21-07-2022 - 20:19 trong Dành cho giáo viên các cấp
Nếu không bắt buộc thì anh Thế cứ làm đại cho xong là được, để sức sáng tạo viết bài đăng chỗ khác, như các tạp chí Toán hay đăng lên VMF chắc là hữu ích hơn
Khuê khuyên thật đúng, những năm tới anh không đầu tư vào cái SKKN này nữa, mất thời gian mà chuốc bực mình vào người
Đã gửi bởi E. Galois on 13-08-2022 - 22:51 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác
Đã gửi bởi E. Galois on 15-08-2022 - 10:06 trong Hàm số - Đạo hàm
Số cực trị của hàm số $f(x)$ không phụ thuộc vào số nghiệm của $f(x)=0$. Với giả thiết của bạn, hàm số $y=f(x)$ có thể có $0, 1, 2, ....$ đến vô số cực trị trong $(x_1,x_2)$.
Đã gửi bởi E. Galois on 15-08-2022 - 10:12 trong Những chủ đề Toán Ứng dụng khác
Có thể người ta xấp xỉ hàm ngược này bằng chuỗi
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}+…$
Chỉ lấy $2$ số hạng đầu ta được xấp xỉ:
$\text{sinc }x=\frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^2}{3!}$
Nên $\text{sinc}^{-1}x \approx \sqrt{6(1-x)}$
Ban đầu em cũng làm như anh Thanh là dùng chuỗi hàm đề xấp xỉ. Tuy nhiên sai số lớn quá so với yêu cầu của bạn em. Họ yêu cầu sai số không vượt quá 5mm đối với 100m. Do vậy em giải phương trình bằng phương pháp Newton
Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình
$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x = 0$$
Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:
$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$
Ta lập dãy
$$\begin{cases}x_0 = \dfrac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\dfrac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\dfrac{\sin(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\dfrac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$
Sau đó chỉ cần dùng 1 file Excel là có thể cho ra kết quả với sai số tùy ý, thường thì các số liệu thực tế sẽ cho kết quả ở bước 6.
p/s: Hình như Diễn đàn không cho up file Excel
Đã gửi bởi E. Galois on 15-08-2022 - 11:12 trong Hàm số - Đạo hàm
Đã gửi bởi E. Galois on 15-08-2022 - 11:37 trong Hàm số - Đạo hàm
1) $f(x)=\begin{cases} \begin{matrix} x^2 & khi & x \leq 1 \\ x & khi & 1 <x \leq 2 \\ 2 & khi & 2 \leq x \leq 3\\ -2x+8 & khi & x > 3\end{matrix} \end{cases}$
Đã gửi bởi E. Galois on 15-08-2022 - 23:17 trong Hàm số - Đạo hàm
https://diendantoanh...a-2b-2x-a-nb-n/
Em có tìm được một bài viết , vậy liệu trường hợp này có đúng ko ạ.
Đối với hàm số đa thức thì đúng.
Mệnh đề. Cho hàm số đa thức $y=f(x)$ bậc $n$. Nếu $f(x)$ có đúng $n$ nghiệm phân biệt thì nó có đúng $n-1$ cực trị.
Chứng minh: Vì $y=f(x)$ là hàm đa thức nên nó liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$.
Giả sử $y=f(x)$ có $n$ nghiệm phân biệt là $x_1<x_2<...<x_n$. Ta chứng minh trong khoảng $(x_1;x_2)$, hàm số có ít nhất 1 cực trị. Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $(x_1;x_2)$, $f(x_1)=f(x_2)=0$ và $f(x) \neq 0, \quad \forall x \in (x_1;x_2)$ nên tồn tại ít nhất một hằng số $c \in (x_1;x_2)$ sao cho trong hai khoảng $(x_1;c), (c;x_2)$, hàm số $f(x)$ đồng biến trong khoảng này và nghịch biến trong khoảng kia. (nếu không, hàm số đơn điệu 1 chiều trên $(x_1;x_2)$ thì $f(x_1) \neq f(x_2)$).
Vậy $x=c$ là một cực trị của hàm số $y=f(x)$
Từ đó suy ra hàm số $y=f(x)$ có ít nhất $n-1$ cực trị.
Vì hàm số $y=f(x)$ liên tục, khả vi trên $\mathbb{R}$ nên mỗi cực trị là nghiệm của $f'(x)=0$. Nhưng $f'(x)=0$ là đa thức có bậc $n-1$ nên có tối đa $n-1$ nghiệm.
Vậy $f(x)$ có đúng $n-1$ cực trị
Đã gửi bởi E. Galois on 18-08-2022 - 11:05 trong Hình học không gian
Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ sao cho trục của khối trụ là trục $Oz$, tâm $I$ của khối cầu thuộc trục $Ox$. Gọi $d$ là khoảng cách từ tâm $I$ của khối cầu đến trục của hình trụ. Khi đó $I(d;0;0)$. Phần chung $\mathcal{H}$ của khối trụ và khối cầu là một thể trụ nên có thể tích là:
$$v=\iiint_{\mathcal{H}}dxdydz=\iint_{\mathcal{D}}\sqrt{R^2-(x-d)^2-y^2}dxdy,$$
trong đó $\mathcal{D}$ là hình chiếu của $\mathcal{H}$ lên mặt phẳng $(Oxy)$. Dễ thấy $\mathcal{D}$ là hình tròn tâm $O$, bán kính $r$. Do đó:
$$v=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-(\lambda \cos \varphi -d)^2-\lambda^2\sin^2 \varphi} d\lambda=\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$$
Về mặt lý thuyết thì có thể tính được tích phân $\int_{0}^{r} \lambda\sqrt{R^2-d^2-\lambda ^2 + 2d\lambda\cos \varphi } d\lambda$ bằng cách đổi biến và tách thành hai tích phân dạng $\int_{m}^{n}\sqrt{a^2-x^2}dx$, $\int_{m_2}^{n_2}\sqrt{a^2-x^2}xdx$. Nhưng rõ ràng là nó chả dễ tẹo nào.
Anh Thanh giúp em mở mang tầm mắt với, hic hic
Đã gửi bởi E. Galois on 07-07-2023 - 12:22 trong Số học
Thú thật là mình không đủ trình độ để đọc chứng minh của bạn.
Xin gửi kèm một chứng minh khác để mọi người tham khảo
2101.07176.pdf 110.65K 102 Số lần tải
Chứng minh này cũng có một lỗi sai nào đó, và mình không đủ trình độ để tìm ra.
Đã gửi bởi E. Galois on 12-07-2023 - 20:41 trong Tin tức - Vấn đề - Sự kiện
Kỳ thi Olympic Toán Quốc tế lần thứ 64 đang diễn ra tại Chiba, Nhật Bản. Tham dự kỳ thi có 618 học sinh đến từ 112 quốc gia và vùng lãnh thổ. Đội tuyển Việt Nam gồm 06 học sinh
Kết quả, đội tuyển của chúng ta đã đã giành được 02 HCV, 02 HCB và 02 HCĐ, đạt tổng số điểm 180.
Với kết quả này Việt Nam xếp thứ 7 toàn đoàn (sau Trung Quốc, Mỹ, Hàn Quốc, Rumani, Canada, Nhật Bản).
Cùng thảo luận về đề thi tại đây
Đã gửi bởi E. Galois on 29-07-2023 - 16:15 trong Hàm số - Đạo hàm
Ta biết rằng
- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số chẵn khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=f(-x), \forall x \in D \end{cases}$
- hàm số $y=f(x)$ xác định trên $D$ là hàm số lẻ khi và chỉ khi $\begin{cases} x \in D \Leftrightarrow -x \in D \\ f(x)=-f(-x), \forall x \in D \end{cases}$.
Dễ thấy hàm số đề bài cho có $D=(-\infty,-1)\cup (-1,+\infty)$ mà $1\in D$ nhưng $-1\notin D$. Vậy hàm số đã cho không chẵn cũng không lẻ.
Đã gửi bởi E. Galois on 29-07-2023 - 16:22 trong Toán học lý thú
Ai giúp chứng minh phát biểu sau với: Gọi a là số nguyên dương bất kì. Bình phương của a luôn bằng với bình phương của số trước (a - 1) cộng với một số lẻ theo 1,3,5,7,9,11,13, ... Có thể hơi khó hiểu nhưng là như này: giả sử a là 5. $a^2$ = $5^2$ = 25. 25 = 16 + 5. hay $4^2$ + 5. Hoặc a là 10. $a^2$ = $10^2$ = 100. 100 = 81 + 19 = $9^2$ + 19. Hoặc a = 11. $a^2$ = $11^2$ = 121. 121 = 100 + 21 = $10^2$ + 21. Ta có thể thấy 5,10,11 bình phương lên sẽ bằng số trước nó bình phương cộng thêm một số lẻ trong dãy 1,3,5,7,9,11,13,... *Lưu ý phát biểu trên chỉ do Nhật làm ra. Chưa có chứng minh chính thức. Hoặc có thể đã xuất hiện ở đâu đó nhưng Nhật không biết. Xin cảm ơn!".
$\forall n \in \mathbb{Z}$, ta có
$$n^2-(n-1)^2=n^2-n^2+2n-1=2n-1 \quad \text{(lẻ)}$$
Đó là điều bạn cần phải không?
Đã gửi bởi E. Galois on 30-07-2023 - 17:38 trong Dãy số - Giới hạn
Cho dãy số $(x_{n})$ được xác định bởi $\begin{cases} x_{1}=1 \\x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}, n\geq 1 \end{cases}$
Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn. Tìm giới hạn đó
Ta cần chứng minh dãy số đã cho tăng và bị chặn trên bởi $\dfrac{3}{2}$.
1) Ta chứng minh dãy số đã cho tăng bằng quy nạp toán học. Ta có $x_2 = \dfrac{4}{3} > 1 = x_1$.
Hàm số $f(t)=\dfrac{3t+1}{2t+1}$ đồng biến trên $(0; + \infty)$ nên nếu $x_n< x_{n+1}$ thì $x_{n+1}<x_{n+2}$. Ta có điều phải chứng minh
2) Dễ thấy $x_n>0, \forall n \geq 1$ và
$$x_{n+1}-\dfrac{3}{2} = \dfrac{-1}{2x_n+1} \leq 0,\quad \forall n \geq 1.$$
Vậy dãy $(x_n)$ bị chặn trên.
Từ 1) và 2) suy ra dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn là $a>0$. Trong $x_{n+1}=\frac{3x_{n}+1}{2x_{n}+1}$, cho $n \to + \infty$, ta có
$$a=\frac{3a+1}{2a+1} \Leftrightarrow a = \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$$
Vậy $\lim x_n = dfrac{1+\sqrt{3}}{2}.$
Đã gửi bởi E. Galois on 01-08-2023 - 08:38 trong Dãy số - Giới hạn
Ta có đẳng thức
$$1-x^a=(1-a)(1+x+x^2+...+x^{a-1}).$$
Do đó
\begin{align*}\lim_{x\to 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{1}{1-x} \right ) &=\lim_{x\to 1} \dfrac{a-(1+x+x^2+...+x^{a-1})}{1-x^a} \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)+(1-x^2)+...(1-x^{a-1})}{1-x^a} \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{(1-x)\left[1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})\right]}{(1-x)(1+x+x^2+...+x^{a-1})} \\ &=\lim_{x\to 1} \dfrac{1+(1+x)+...+(1+x+...x^{a-2})}{1+x+x^2+...+x^{a-1}} \\ &=\dfrac{1+2+...+(a-1)}{1+2+...+a}=\dfrac{a(a-1)}{2a}=\dfrac{a-1}{2}. \end{align*}
Tương tự ta cũng có
$$\lim_{x\to 1}\left ( \frac{1}{1-x} -\frac{a}{1-x^a} \right ) =-\dfrac{b-1}{2}.$$
Do đó
$$\lim_{x\rightarrow 1}\left ( \frac{a}{1-x^a} - \frac{b}{1-x^b} \right ) =\dfrac{a-1}{2} -\dfrac{b-1}{2} = \dfrac{a-b}{2}.$$
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học