Với bất đẳng thức cauchy - schwarz có một cách làm khá hay ( tuy không đúng chủ đề quy nạp )
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm thì ta có bất đẳng thức :
$(\sum_{i=1}^{n}(ai)^{2})(\sum_{i=1}^{n}(bi)^{2})\geq (\sum_{i=1}^{n}ai.bi)^{2}$
Trong đó i là các hệ số từ 1 -> n
Thật vậy theo bất đẳng thức cauchy - schwarz trong không gian vecto thực ( không gian Euclide )
Ta luôn có bất đẳng thức $(x,y)^{2}\leq (x,x)(y,y)$
Trong đó x ; y là 2 vecto bất kỳ của không gian này ; đẳng thức xảy ra khi x ; y phụ thuộc tuyến tính .
Ta áp dụng bất đẳng thức cơ bản này cho một không gian sau $x=(x1;x2;.........xn)$ ; $y=(y1;y2;.......yn)$
Mà ở đó phép cộng 2 phần tử xác định bởi $x+y=(x1+y1;x2+y2;.......;xn+yn)$
Và phép nhân một phần tử với một số thực là $ax=(ax1;...........axn)$ ; phép nhân 2 phần tử $xy=(x1.y1;...........;xn.yn)$
Ta chứng minh được không gian này là một không gian tuyến tính ; áp dụng bất đẳng thức trên cho không gian tuyến tính ; áp dụng bất đẳng thức $(x,y)^{2}\leq (x,x)(y,y)$
Ta có ngay điều phải chứng minh .