I. Hàm hợp:
Nếu $y$ là hàm số theo $u,u$ là hàm số theo $x$ thì ta nói:
"$y$ là hàm hợp theo $x$
Ví dụ 1: Hãy mô tả phương trình:
$$y=(5x+7)^{12}$$
Nếu ta gọi $u=5x+7$ (biểu thức trong ngoặc) thì phương trình trên viết lại thành:
$$y=u^{12}$$
Ta đã viết $y$ là hàm số theo $u$, và tương tự $u$ là hàm số theo $x$.
Đây là khái niệm quan trọng trong vi phân. Những phương trình ta gặp đến bây giờ sẽ là phương trình trong phương trình và ta cần phải nhận diện chúng để có thể tính vi phân một cách chính xác.
II. Công thức chuỗi:
Để tìm đạo hàm hàm hợp, ta cần sử dụng công thức chuỗi:
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$
Điều này có nghĩa ta cần phải:
1. Nhận diện $u$ (luôn luôn chọn biểu thức nằm trong cùng, thường nằm trong ngoặc hay dưới dấu căn).
2. Sau đó ta cần ghi lại biểu thức $y$ theo $u$.
3. Đạo hàm $y$ (theo $u$) sau đó ta biểu diễn lại mọi thứ theo $x$.
4. Bước tiếp theo ta tìm $\frac{du}{dx}$.
5. Nhân $\frac{dy}{du}$ với $\frac{du}{dx}$.
Ví dụ 2: Tìm $\frac{dy}{dx}$ của
$$y=(x^{2}+3)^{5}$$
Trả lời
Ví dụ 3: Tìm $\frac{dy}{dx}$ của:
$$y=\sqrt{4x^{2}-x}$$
Trả lời
III. Đạo hàm hàm số có lũy thừa:
Mở rộng ra với công thức chuỗi chính là công thức lũy thừa cho vi phân. Ta đang tìm đạo hàm của $u^{n}$ (lũy thừa của hàm số):
$$\frac{d}{dx}u^{n}=nu^{n-1}\frac{du}{dx}$$
Ví dụ 4: Ở phương trình sau:
$$y=(2x^{3}-1)^{4}$$
Ta có hàm số có lũy thừa
Trả lời
IV.Thử thách:
Tìm đạo hàm hàm số:
$$y=\frac{x^{2}(3x+1)}{x^{4}+2}$$
Trả lời
Xem thêm: Tổng quan về ngành vi tích phân
Bài trước: Đạo hàm tích và thương
Bài tiếp: Vi phân hàm số hai ẩn
Edited by hoangtrong2305, 29-09-2013 - 20:21.