Để chứng minh bài toán, ta sẽ chứng minh $\forall K\in BC$, gọi $N_1,N_2$ lần lượt là tâm euler của $ABK,ACK$ thì trung điểm $N_1N_2$ luôn thuộc 1 đường thẳng cố định.
Ta nhắc lại bổ đề quen thuộc : Cho $A, B, C, D, E, F, M, N, P$ thỏa mãn $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{DE}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{MN}}{\overline{NP}},\frac{\overline{AD}}{\overline{DM}}=\frac{\overline{CF}}{\overline{FP}}=k$ thì $\overline{B,E,N}$ và $\frac{\overline{BE}}{\overline{EN}}=k$
Quay trở lại bài toán, lấy $K$ bất kì trên $BC$, $H_{1}, G_{1}, N_{1}$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm Euler của tam giác $ABK$, $H_{2}, G_{2}, N_{2}$ lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm Euler của tam giác $ACK$. $M, N, N'$ lần lượt là trung điểm của $G_{1}G_{2}, H_{1}H_{2}, N_{1}N_{2}$. Với để ý $\frac{\overline{H_{1}N_{1}}}{\overline{N_{1}G_{1}}}=\frac{\overline{H_{2}N_{2}}}{\overline{N_{2}G_{2}}}=1$ và bổ đề trên, ta suy ra $\overline{N,N',M}$ và $\frac{\overline{NN'}}{\overline{N'M}}=1$.
Bây giờ ta vẽ H là trực tâm tam giác ABC, AH cắt BC tại D, đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt AH tại E, đường thẳng qua C vuông góc với AC cắt AH tại F. X là trung điểm HE, Y là trung điểm HF. G là trọng tâm tam giác ABC, đường thẳng qua G song song với BC cắt AB, AC tại P,Q. Z, T lần lượt là trung điểm GP, GQ. R,S lần lượt là trung điểm XZ, YT. K vẫn là 1 điểm bất kì trên BC, ta sẽ chứng minh trung điểm $N_{1}N_{2}$ thuộc RS hay là trung điểm MN thuộc RS.
Dễ thấy $G_{1}$, $G_{2}$, M, G, P, Q, Z, T thẳng hàng, K' là giao điểm của AK và PQ. Với để ý $G_{1}, G_{2}$ lần lượt là trung điểm $PK', QK'$ ta dễ dàng chứng minh được trung điểm M của $G_{1}G_{2}$ chính là trung điểm của $GK'$. Từ đó ta có $\frac{\overline{ZM}}{\overline{MT}}=\frac{2\overline{ZM}}{2\overline{MT}}=\frac{\overline{PK'}}{\overline{K'Q}}=\frac{\overline{BK}}{\overline{KC}}=k. \,\,(1)$
Đặt $\frac{\overline{BK}}{\overline{KC}}=k, \frac{\overline{BD}}{\overline{DC}}=h$, suy ra $\frac{\overline{BK}}{\overline{BC}}=\frac{k}{k+1}\, , \, \frac{\overline{BD}}{\overline{BC}}=\frac{h}{h+1}\, , \,\frac{\overline{KC}}{\overline{BC}}=\frac{1}{k+1}\, , \,\frac{\overline{DC}}{\overline{BC}}=\frac{1}{h+1}$
Dễ thấy $△BEH~△CHF$ suy ra $\frac{\overline{HE}}{\overline{HF}}=h=\frac{\overline{HD}}{\overline{DF}}$, không mất tính tổng quát có thể giả sử $HF=1, HE=h$ suy ra $HD=\frac{h}{h+1}.$
Do $KH_{1}//HC$, $KH_{2}// BH$ nên $\frac{\overline{HH_{1}}}{\overline{HD}}=\frac{\overline{CK}}{\overline{CD}}=\frac{h+1}{k+1}$⇒ $HH_{1} =\frac{h}{k+1}, \frac{\overline{HH_{2}}}{\overline{HD}}=\frac{\overline{BK}}{\overline{BD}}=\frac{k}{k+1}.\frac{h+1}{h}$⇒$HH_{2} =\frac{k}{k+1}$ ⇒ $HN= \frac{h+k}{2(k+1)}$
Từ đó, với để ý $HX=\frac{h}{2}, HY=\frac{1}{2}$, ta dễ dàng tính được $\frac{\overline{XN}}{\overline{NY}}=k (2)$
Từ $(1), (2)$, áp dụng bổ đề trên đầu 1 lần nữa, ta có trung điểm MN thuộc RS, vậy ta có điều phải chứng minh !