2 replies to this topic

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

Cho tam giác ABC đều, trực tâm H, đường cao AD. Lấy M bất kỳ trên BC. Kẻ ME vuông góc AB, MF vuông góc AC. I là trung điểm AM. CMR:

a)Tứ giác DEIF là hình thoi

b)Đường thẳng HM đi qua tâm đối xứng của hình thoi.

[vkhoa]

a)$\triangle AEM$ vuông tại E =>$EI =\frac{1}{2}AM$ (1)
$\triangle AFM$ vuông tại F =>$FI =\frac{1}{2}AM$ (2)
ta có $\triangle BEM\sim\triangle BDA$ ($\widehat{B}  chung, \widehat{BEM} =\widehat{BDA} =90^\circ$)
=>$\frac{BE}{BD} =\frac{BM}{BA}$
<=>$\frac{BE}{BM} =\frac{BD}{BA}$
mà $\widehat{DBA} chung$
=>$\triangle BED\sim\triangle BMA$
=>$\frac{ED}{MA} =\frac{BD}{BA} =\frac{1}{2}$
=>$ED =\frac{1}{2}MA$ (3)
ta có $\triangle CDA\sim\triangle CFM$ (g,g)
=>$\frac{CD}{CF} =\frac{CA}{CM}$
<=>$\frac{CD}{CA} =\frac{CF}{CM}$
mà $\widehat{ACM} chung$
=>$\triangle CDF\sim\triangle CAM$
=>$\frac{DF}{AM} =\frac{CD}{CA} =\frac{1}{2}$
=>$DF =\frac{1}{2}AM$ (4)
từ (1)(2)(3)(4) =>DE=DF=IE=IF =>DEIF là hình thoi
b)gọi N là tâm hình thoi =>N trung điểm ID
gọi J trung điểm MD
MN lần lượt cắt IJ, AD tại G, K
$\triangle IMD$ có IJ, MN là trung tuyến => G là trọng tâm IMD =>$JG =\frac{1}{3}IJ$ (5)
ta có JI //DA =>$\frac{DK}{JG} =\frac{MD}{MJ} =2$ =>DK =2.JG (6)
và JI//DA =>$\frac{DA}{JI} =\frac{MD}{MJ} =2$ =>DA =2.JI (7)
từ (5)(6)(7)=>$DK =\frac{1}{3}DA$ => K trọng tâm ABC =>K trùng H =>M, N, H thẳng hàng(đpcm)

Edited by vkhoa, 24-08-2014 - 18:23.

[Phuong Hoa 23]

Giống phần a, phần b ở http://diendantoanho...ộ-dài-nhỏ-nhất/