Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 KHTN năm 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 Trang Luong

Trang Luong

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1834 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$ \heartsuit \int_{K48}^{HNUE}\heartsuit $

Đã gửi 19-08-2014 - 17:41

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

Câu I: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : $p-4$ không thể là lũy thừa bậc 4 của 1 số nguyên.

 

Câu II: Giả hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+56\\ 3x^2-9x=y^2-y+10 \end{matrix}\right.$$

 

Câu III: Cho $\Delta ABC$ nhọn. Gọi $P$ là điểm di chuyển trên $BC$. $(K), (L)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta PAB,\Delta PAC$. Lấy $S$ thuộc $(K)$ sao cho $PS\parallel AB$, lấy $T$ thuộc $(L)$ sao cho $PT\parallel AC$

a, Chứng minh:  Đường tròn ngoại tiếp $\Delta AST$ đi qua điểm cố định khác $A$ là $J$

b, Gọi $(K)$ cắt $CA$ tại $E$, $(L)$ cắt $AB$ ở $F$ khác $A$. $BE$ cắt $CF$ ở $G$. Chứng minh rằng :  $PG$ đi qua $J$ khi và chỉ khi $AP$ đi qua tâm đường tròn Euler của $\Delta ABC$.

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

Câu V: Với $n$ là 1 số nguyên dương ta xét 1 bảng ô vuông $n \times n$. Mỗi ô vuông con được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. TÌm $n$ nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tô màu luôn có thể chọn được 1 hình chữ nhật các ô vuông con kích thước $m \times k\;\left (2\leq k; m\leq n \right )$ mà bốn ô vuông con ở 4 góc của hình chữ nhật này có cùng màu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 20-08-2014 - 08:32
LaTeX fixed

"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton

#2 DANH0612

DANH0612

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Đã gửi 19-08-2014 - 18:29

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2+}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

 

 

$VT=\sum \frac{a(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})}{a^{2}+ab+b^{2}}= \sum a(a+b)(1-\frac{2ab}{a^{2}+ab+b^{2}})\geq \sum (a^{2}+ab)(1-\frac{2}{3})$

$= \frac{1}{3}\sum (a^{2}+ab)=\frac{2}{9}. \frac{3\sum a^{2}+3\sum ab}{2} \geq \frac{2}{9}.\frac{2\sum a^{2}+4\sum ab}{2}=\frac{2}{9}(\sum a)^{2}$

(vì $\sum a^{2}\geq \sum ab$) 

dấu = xãy ra khi a=b=c


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DANH0612: 19-08-2014 - 18:32


#3 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2937 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 19-08-2014 - 18:32

 


Câu II: Giả hệ phương trình : $$\left\{\begin{matrix} x^3=y^3+56\\ 3x^2-9x=y^2-y+10 \end{matrix}\right.$$


 

Lấy $(1)-3.(2)$ ta được $(x-3)^3=(y-1)^3 \Leftrightarrow x=y+2$ thay vào ta được $(y+2)^3=y^3+56$

$\Leftrightarrow y=-4\vee y=2$

Nếu $y=-4\Leftrightarrow x=-2$

Nếu $y=2\Leftrightarrow x=4$


►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫ Giao diện website du lịch miễn phí Những bí ẩn chưa biết

#4 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 374 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THPT A Hải Hậu

Đã gửi 19-08-2014 - 18:41

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

Câu I: Cho $p$ là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng : $p-4$ không thể là lũy thừa bậc 4 của 1 số nguyên.

 

$p=x^{4}+4=(x^{2}+2)^{2}-4x^{2}=(x^{2}+2x+2)(x^{2}-2x+2)$

Dễ thấy$x^{2}+2x+2=1\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow p=-3$(vô lý)

$x^{2}-2x+2=1\Leftrightarrow x=1\Rightarrow p=5$ (k thoả mãn)

$\Rightarrow$ đpcm



#5 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 19-08-2014 - 21:09

 

 

Câu V: Với $n$ là 1 số nguyên dương ta xét 1 bảng ô vuông $n \times n$. Mỗi ô vuông con được tô bởi 2 màu đỏ và xanh. TÌm $n$ nhỏ nhất sao cho với mỗi cách tô màu luôn có thể chọn được 1 hình chữ nhật các ô vuông con kích thước $m \times k\;\left (2\leq k; m\leq n \right )$ mà bốn ô vuông con ở 4 góc của hình chữ nhật này có cùng màu

 

Gọi hình chữ nhật thoả mãn đề bài là hcn tốt.
* Với $n=2,3,4$ thì tồn tại cách tô sao cho không tồn tại hcn tốt.
* Ta chứng minh $\forall n \in \mathbb{N}^{*}, n\geq5$ trong hình vuông $n \times n$ luôn tồn tại ít nhất 1 hcn tốt.

* Với $n=5$, xét hình vuông $5 \times 5$:
Giả sử không tồn tại hcn thoả mãn đề bài
Theo nguyên lí Dirichlet, mỗi cột luôn tồn tại ít nhất 3 ô cùng màu.
- Nếu tồn tại 1 cột có 5 ô đỏ (xanh), dễ thấy luôn tồn tại hcn tốt với 4 đỉnh màu xanh (đỏ).
- Nếu tồn tại 1 cột có 4 ô đỏ hoặc xanh. Xét trường hợp 1 cột có 4 ô đỏ. Khi đó ta thấy rằng 4 cột còn lại chỉ tồn tại nhiều nhất 1 cột có 2 ô đỏ nếu không sẽ tồn tại 1 hcn tốt với 4 đỉnh màu đỏ. Khi đó ta có ít nhất 3 cột có 4 ô xanh nên tồn tại 1 hcn tốt với 4 đỉnh màu xanh.
- Xét trường hợp tất cả các cột được tô 3 ô đỏ, 2 ô xanh hoặc 3 ô xanh, 2 ô đỏ.
Theo nguyên lí Dirichlet luôn tồn tại 3 cột được tô 3 ô cùng màu. Giả sử đó là màu đỏ. Xét trường hợp xấu nhất là 3 ô của 3 cột ở hàng 3 đều có màu đỏ.
Xét 4 hàng còn lại. Tổng số ô đỏ của 3 cột ở 4 hàng này là $3.3-3=6=4+2$ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 2 cột có cùng ô đỏ ở 2 trong 4 hàng này nên tồn tại 1 hcn tốt với 4 đỉnh màu đỏ.
Vậy, với $n=5$ thì luôn tồn tại 1 hcn tốt trong hình vuông $5 \times 5$.
* Với $n>5$ thì hình vuông $n \times n$ chứa hình vuông $5 \times 5$ nên luôn tồn tại hcn tốt.
Vậy, $n=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 20-08-2014 - 17:37

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#6 Super Fields

Super Fields

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 526 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 20-08-2014 - 08:03

 

Đề thi chọn dự tuyển HSG lớp 10 THPT chuyên KHTN Hà Nội 2014-2015

 

 

Câu IV: Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$$\frac{a\left ( a^3+b^3 \right )}{a^2+ab+b^2+}+\frac{b\left (b^3+c^3 \right )}{b^2+bc+c^2}+ \frac{c\left (c^3+a^3 \right )}{c^2+ca+a^2} \geq \frac{2}{9}\left ( a+b+c \right )^2$$

 

 

Ta có nhận xét:$$\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2a}{3}$$

Từ đó:$$\sum \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{2a^2}{3}\geq \frac{2}{9}(\sum a)^2$$


$\dagger$God made the integers, and else is the work of man.$\dagger$


$\boxed{\textrm{My Blog}}$


#7 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 21-08-2014 - 15:51

Có thể tham khảo lời giải câu hình ở đây

 

http://analgeomatica...op-10-khtn.html



#8 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 25-08-2014 - 15:30

câu hình bạn tham khảo ở đây nhé

http://dinhtrungphan...-10-truong.html



#9 Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\boxed{\text{Phú Thọ}}$
  • Sở thích:Coffee

Đã gửi 21-06-2017 - 13:29

Ta có :$ab\leq \frac{a^2 +b^2}{2}$

Chứng minh được :$\sum \frac{a(a^3+b^3)}{a^2+ab+b^2}\geq \sum \frac{a(a+b)}{3}$
biễn đổi tương đương ta được đpcm


Duyên do trời làm vương vấn một đời.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh