121 replies to this topic

[Viet Hoang 99]

 

40) Trên hai tia $Ox$ và $Oy$ của góc $xOy$ lấy hai điểm $M;N$ sao cho $OM+ON=a$. Tìm quỹ tích trung điểm $I$ của đoạn $MN$.

 

Hạn chế trích dẫn đề thừa (chỉ cần đề bài của bài mình làm, không cần một cái gì nữa!)
(Load trang chậm)

$40)$

Lấy $M';N'\in Ox;Oy$ sao cho:
$OM'=ON'=\frac{a}{2}$

Giả sử $OM=k$ thì $ON=a-k$ với $0\leq k\leq a$, khi đó:
$\overrightarrow{OM}=\frac{2k}{a}\overrightarrow{OM'}$ và $\overrightarrow{ON}=\frac{2(a-k)}{a}\overrightarrow{ON'}$

Vì $I$ là trung điểm $MN$ nên

$\overrightarrow{OI}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}\right)=\frac{1}{2}\left[\frac{2k}{a}\overrightarrow{OM'}+\frac{2(a-k)}{a}\overrightarrow{ON'}\right]$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{OM'}+\overrightarrow{M'I}=\frac{k}{a}\overrightarrow{OM'}+\frac{a-k}{a}\overrightarrow{ON'}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{M'I}=\frac{a-k}{a}\overrightarrow{M'N'}$

Vậy quỹ tích $I$ thuộc đoạn $M'N'$

 

P/s: Làm nhanh nào 

Edited by Viet Hoang 99, 14-09-2014 - 22:13.

[Viet Hoang 99]

Bài cần anh em giúp !!!
$*$ Cho nửa đường tròn tâm O bán kính $MN = 2$. Trên nửa đường tròn ấy lấy 3 điểm $A,B,C$ sao cho không trùng $M,N$. CMR: $\left | \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right|>1$

Đường tròn tâm $O$, bán kính $MN$
bạn muốn mình hiểu thế nào đây

Mình tạm hiểu là đường kính $MN$, mình làm trường hợp tam giác $ABC$ tù, trường hợp còn lại tương tự bạn tự làm.


Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$; $GE||OD; E\in OA$.

Ta có:
$\frac{1}{3}=\frac{DG}{DA}=\frac{OE}{OA}\Rightarrow OG>OE=\frac{1}{3}OA$
$\Rightarrow 3OG>OA=1$
Mà $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$
$\Rightarrow \left|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right|=\left|3\overrightarrow{OG}\right|>1$

Edited by Viet Hoang 99, 15-09-2014 - 19:52.

[HungNT]

43) Cho tam giác $ABC$. $M;N$ di động trên $AB;AC$ sao cho $\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{CN}{CA}$. Dựng hình bình hành $MNCP$. Tìm tập hợp những điểm $P$

 

Ta có A,M,B thẳng hàng và $\frac{AM}{AB}=\frac{CN}{NA}=>\overrightarrow{AM}=\frac{CN}{NA}\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AB}$

C,N,A thẳng hàng $\overrightarrow{NC}=\frac{CN}{CA}\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AC}$

$=>\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{NC}=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2k}\overrightarrow{AP}$ (AI là trung tuyến)$=>\overrightarrow{AP}\uparrow\uparrow\overrightarrow{AI}$

Kết luận : Quỹ tích điểm P là đoạn AM

[thuhanhthuhang]

45)
Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm M sao cho $\left | \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}\right |=\left | \overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}\right |$

 

 

@MOD: chú ý số thứ tự!

Edited by Viet Hoang 99, 20-09-2014 - 10:30.

[Viet Hoang 99]

45)

Cho đoạn thẳng AB. Tìm tập hợp các điểm M sao cho $\left | \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}\right |=\left | \overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}\right |$

45)

$\left | \overrightarrow{MA} +\overrightarrow{MB}\right |=\left | \overrightarrow{MA} -\overrightarrow{MB}\right |$$

$$\Leftrightarrow \left | 2\overrightarrow{MI} \right |=\left|\overrightarrow{BA}\right|$$

Với $I$ là trung điểm $AB$.

Do $A;B;I$ cố định nên $M$ thuộc đường thẳng $IM||AB$ sao cho $MI=\dfrac{1}{2}AB$

Edited by Viet Hoang 99, 20-09-2014 - 10:30.

[Near Ryuzaki]

5. Các bài tập về tích vô hướng

$46)$ Cho tam giác $ABC$ có $AB=2,BC=4,AC=3.$ Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $J$là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AC}.$

Tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}$ suy ra độ dài $IJ.$

$47)$ Cho hình thang vuông $ABCD$ , đường cao $AB=3a,AD=2a,BC=\dfrac{9a}{2}$

a.Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}.$ Suy ra góc $\left ( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} \right ).$

b. Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BD}.$

$48)$ Cho tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng :

a. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{2}.(AB^2+AC^2-BC^2)$

b. $AM^2=\dfrac{1}{2}(AB^2+AC^2-\dfrac{1}{2}BC^2)$ với $AM$ là đường trung tuyến 

$49)$ Cho tam giác $ABC$ với $G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :

a. $GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$

b. Với mọi điểm $M$ thì $MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2$

$50)$ Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm, $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp,$G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng :

a. $OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2$

b. $OG^2=\dfrac{1}{3}(OA^2+OB^2+OC^2)-\dfrac{1}{9}(a^2+b^2+c^2)$

$51)$ Cho tam giác $ABC$ với $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $G$ là trọng tâm . Chứng minh rằng : $$b^2+c^2=2a^2 \Leftrightarrow OG\perp AG$$

$52)$ Cho tam giác $ABC.$ Dựng phía ngoài các tam giác vuông đồng dạng $ABE,ACE$ vuông tại $A.$ Chứng minh trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ vuông góc với $EF.$

$53)$ Cho tam giác $ABC.$ cân tại $C.$ với $CD$ là đường cao. Kẻ $DE$ vuông góc $BC.$ Gọi $M$ là trung điểm $DE.$ Chứng minh $AE$ vuông góc với $CM.$

$54)$ Cho tam giác đều $ABC.$ Lấy các điểm $M,N$ sao cho $\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}.$ Gọi $I$ là giao điểm của $AM$ và $CN.$ Chứng minh rằng $\widehat{BIC}=90^0$

$55)$ Cho tứ giác có $2$ đường chéo cắt nhau tại $O.$ Gọi $H,K$ lần lượt là trực tâm các tam giác $AOB$ và $COD.$ Gọi $I,J$ là trung điểm $AD,BC.$ Chứng minh rằng $HK\perp IJ.$

Spoiler

Tiếp theo mình sẽ post sâu hơn về véc-tơ , đi chuyên sâu vào ứng dụng của véc-tơ vào việc chứng minh bất đẳng thức hình học, sau đó sẽ là ứng dụng vào tâm tỉ cư ứng dụng vào phương tích với đường tròn.(Những phần dành cho học sinh giỏi, thi olympic)

Edited by Viet Hoang 99, 23-11-2014 - 13:33.

[nguyenhongsonk612]

Mình xin đăng thêm bài này

 

19) Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tồn tại $\alpha, \beta, \gamma$ sao cho

$\left\{\begin{matrix}\alpha+ \beta+ \gamma =1 \\ \alpha\overrightarrow{MA} +\beta\overrightarrow{MB}+ \gamma \overrightarrow{MC} = 0 \end{matrix}\right.$

Một cách khác cho bài $19$

Giải

Ta có

$\alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma \overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow \alpha (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})+\beta \overrightarrow{MB}+\gamma (\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow (\alpha +\beta +\gamma )\overrightarrow{MB}=\alpha \overrightarrow{AB}+\gamma \overrightarrow{CB} \Leftrightarrow \overrightarrow{MB}=\frac{\alpha \overrightarrow{AB}+\gamma \overrightarrow{CB}}{\alpha +\beta +\gamma }$

Ta thấy $VP$ là $1$ vecto đã xác định nên chắc chắn sẽ tồn tại điểm $M$.

Edited by nguyenhongsonk612, 21-09-2014 - 01:30.

[thuhanhthuhang]

56) Cho tam giác ABC. Gọi M,N xác định bởi: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{CN}=x.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$
a.Tìm x để A,M,N thẳng hàng
b) Tìm x để MN đi qua trung điểm I của BC. Tính $\frac{IM}{IN}$

Edited by Viet Hoang 99, 20-10-2014 - 16:58.

[HungNT]

5. Các bài tập về tích vô hướng

$46)$ Cho tam giác $ABC$ có $AB=2,BC=4,AC=3.$ Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $J$là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AC}.$

Tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}$ suy ra độ dài $IJ.$

 

Do I là trung điểm AB, ta có $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}AB.AC.cos \angle A$

mà $cos\angle A=\frac{AC^{2}+AB^{2}-BC^{2}}{2AB.AC}=\frac{-1}{4}$

$=> \overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\frac{-1}{2}$

$=> IJ=\sqrt{AI^{2}+AJ^{2}-2AI.AJ.cos \angle A}$ mà AI=1, AJ=2 nên $IJ= \sqrt{6}$

P/s: dạo này topic vắng nhỉ

Edited by HungNT, 24-09-2014 - 14:33.

[halloffame]

42) Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp những điểm $M$ thỏa mãn:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

b) $\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|4\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

$c) $\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}\right|$$

42)

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

<=> $\left | \vec{BA}+\vec{MC} \right | = \left | $\vec{BA}$ \right |$

<=> $\vec{BA} + \vec{MC} = \pm \vec{BA}$

<=> $\vec{MC}$ = 0 ( M$\equiv$C) hoặc $\vec{MC} = 2 \vec{AB}$

b) Gọi I, K là tâm tỉ cự của hệ điểm (A;B), (B;C) với hệ số (2;1), (4;-1).

Suy ra $$\left |3 $\overrightarrow{MI}$ \right | = $$\left | 3 $\overrightarrow{MK}$ \right |

Hay MI=MK tức là M thuộc trung trực IK.

c) Lấy C' trên mặt phẳng chứa tam giác ABC sao cho A là trung điểm CC'=> $\vec{CA} = \vec{AC'}$

Dẫn dến $\left | 2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC} \right |=\left | \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA} \right |=\left | \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC'} \right |=\left | \overrightarrow{BC'} \right |=BC'$

Gọi Z là tâm tỉ cự của hệ điểm (A;B;C) với hệ số (4;1;1).

Đẳng thức đã cho tương đương  $\left | 6 \overrightarrow{MZ} \right |=BC'$ hay 6MZ = BC' <=> MZ = $\frac{BC'}{6}$

Vậy M thuộc (Z ; $\frac{BC'}{6}$)

Edited by halloffame, 25-09-2014 - 13:16.

[halloffame]

 

44) Cho tam giác $ABC$. $M;N;P$ di động trên tia $BC;CA;AB$ sao cho $\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{NC}{NA}=\dfrac{PA}{PB}$. Dựng hình bình hành $MNPQ$. Tìm tập hợp những điểm $Q$

Xét $\frac{AP}{AB} = \frac{BM}{BC} = \frac{CN}{CA} = k

=>\overrightarrow{BQ} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{MQ} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{NP} = \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{NA} + \overrightarrow{AP} = k \overrightarrow{BC} + (1-k) \overrightarrow{CA} + k \overrightarrow{AB} = (-2k+1) \overrightarrow{CA}$  =>  $\overrightarrow{BQ} // \overrightarrow{CA}$

Vậy Q thuộc đường thẳng qua B và song song với AC

[Near Ryuzaki]

Topic dạo này vắng quá nhỉ T.T
Bài $48.$

a. Xét $$BC^2=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2=AB^2+AC^2-2AB.AC.cos\widehat{BAC}=AB^2+AC^2-2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$$

b. $$AM^2=(\overrightarrow{AM})^2=\frac{1}{4}\left ( \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right )^2=\frac{1}{4}[(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})^2+4\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}]=\frac{1}{4}[BC^2+2(AB^2+AC^2-BC^2)]=\frac{1}{2}(AB^2+AC^2-\frac{1}{2}BC^2)$$

[Near Ryuzaki]

Mở Rộng : Một tính chất để chứng minh $3$ điểm thẳng hàng 

Cho $3$ điểm $M,N,P$ phân biệt thì $M,N,P$ thẳng hàng khi và chỉ khi với mọi điểm $O$ luôn tồn tại một số thực $m$ sao cho 

$$\overrightarrow{OM}=m\overrightarrow{ON}+(1-m)\overrightarrow{OP}$$

Chứng minh:

$(\Rightarrow )$ Giả sử có $3$ điểm $M,N,P$ thẳng hàng . Khi đó tồn tại $k$ sao cho $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{MP}.$ Với điểm $O$ tùy ý , ta có :

$$\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=k\overrightarrow{OP}-k\overrightarrow{OM}\Rightarrow(k-1)\overrightarrow{OM}=-\overrightarrow{ON}+k\overrightarrow{OP}\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}=-\frac{1}{k-1}\overrightarrow{ON}+\frac{k}{k-1}\overrightarrow{OP}$$

Khi $m=\frac{-1}{k-1}$ ta có điều phải chứng minh

$(\Leftarrow)$ Giả sử tồn tại điểm $O$ mà $\overrightarrow{OM}=m\overrightarrow{ON}+(1-m)\overrightarrow{OP}.$ Khi đó :

$$\overrightarrow{NM-\overrightarrow{NO}}=m(\overrightarrow{NN}-\overrightarrow{NO})+(1-m)(\overrightarrow{NP}-\overrightarrow{NO})\Leftrightarrow \overrightarrow{NM}=(1-m)\overrightarrow{NP}.$$

Từ đó ta có $M,N,P$ thẳng hàng.

Kết thúc chứng minh $.\blacksquare$

____________

Mời các bạn thử dùng tính chất này để chứng minh định lí Mê-nê-la-us:

Cho tam giác $ABC.$ Một đường thẳng (d) bất kì cắt các đường thẳng $BC,CA,AB$ lần lượt tại $A_1,B_1,C_1.$ Khi đó 

$$\frac{\overline{BC_1}}{C_1A}.\frac{\overline{AB_1}}{B_1C}.\frac{\overline{A_1C}}{BA_1}=1$$

Spoiler

định lí này có nhiều cách phát biểu nhưng mình phát biểu theo cách này và nó cũng có nhiều cách giải nhưng các bạn hãy thử dùng tính chất trên để chứng minh nhé

Edited by sieusieu90, 28-09-2014 - 18:28.

[Lam Ba Thinh]

57) Trên các cạnh AB BC CA của tam giác ABC ta lấy các điểm C1, A1,B1 sao cho AC1/C1B=BA1/A1C=CB1/B1A=k. Trên các đoạn A1B1, B1C1, C1A1, ta lấy lần lượt các điểm C2, A2, B2 sao cho A1C2/C2B1=B1A2/A2C1=C1B2/B2A1=1/k.Chứng minh rằng tồn tại một phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác A2B2C2.

Edited by Viet Hoang 99, 20-10-2014 - 16:59.

[Zaraki]

Đóng góp một bài mình nghiệm ra được từ bài hình của thầy Trần Quang Hùng.

Bài 58. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác. $(I_a)$ tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Chứng minh $OI_a$ là đường thẳng Euler của tam giác $DEF$.

Bài toán trên được đúc rút từ bài toán sau của thầy Trần Quang Hùng:

Bài 59. Cho tam giác $ABC$, đường cao $AD,BE,CF$. Gọi $D_a,E_a,F_a$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $EF, FD,DE$. $d_a$ là đường thẳng Euler của tam giác $D_aF_aE_a$. Định nghĩa tượng tự với $d_b,d_c$. Chứng minh $d_a,d_b,d_c$ đồng quy.

Sau một hồi thì mình phát hiện ra bài toán sau khá giống bài 57 (cũng dùng vector) trong cuốn Tài liệu chuyên toán hh10 (nhưng cách giải khác):

Bài 60. Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, ngoại tiếp đường tròn $(I)$. $(I)$ thứ tự tiếp xúc với $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Chứng minh $OI$ là đường thẳng Euler của tam giác $DEF$.

Edited by Viet Hoang 99, 20-10-2014 - 16:59.

[quanghung86]

Vector là công cụ hay đối tượng. Theo cả 2 nghĩa thì bài toán hình vector đều là các bài toán thú vị. Bài toán sau từ đề kiểm tra 1 tiết lớp A1 Toán K48

 

61)

Cho tam giác $ABC$ và $P,Q$ là hai điểm bất kỳ. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $QA,PC,PB$. Dựng điểm $R$ sao cho

 

$$BC.\overrightarrow{RQ}+DE.\overrightarrow{RB}+DF.\overrightarrow{RC}=(DE+DF)\overrightarrow{PA}.$$

 

Chứng minh rằng $QR$ song song với phân giác góc $\angle EDF$.

Edited by Viet Hoang 99, 20-10-2014 - 16:59.

[leminhansp]

55) Cho tam giác ABC. Gọi M,N xác định bởi: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}$
$\overrightarrow{CN}=x.\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}$
a.Tìm x để A,M,N thẳng hàng
b) Tìm x để MN đi qua trung điểm I của BC. Tính $\frac{IM}{IN}$

 

Chẳng biết bắt đầu từ đâu, thôi thì ứng trước một bài cơ bản này vậy  

 

Kiến thức cần dùng:

 

- $A,M,N$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN}$ cùng phương, tức là tồn tại $k$ sao cho: $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}$

 

- Nếu $\overrightarrow{u}; \overrightarrow{v}$ không cùng phương thì $m\overrightarrow{u}+n\overrightarrow{v}=0$ khi và chỉ khi $m=n=0$.

 

a. Ta có: $$\begin{array}{l}\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}= 2\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\\\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}=(x+1)\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\end{array}$$

 

Để $A,M,N$ thẳng hàng thì tồn tại $k$ để $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AM}\Longleftrightarrow (x+k+1)\overrightarrow{AC}-(1+2k)\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0}$.

 

$\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên $$ \left\{\begin{array}{l}x+k+1=0\\1+2k=0\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{1}{2}\\k=\dfrac{1}{2}\end{array}\right. $$

b. Ta có: $$\begin{array}{l}\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}\Longrightarrow \overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{AB}\\\overrightarrow{CN}=x\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}\Longrightarrow \overrightarrow{BN}=x\overrightarrow{AC}\end{array}$$

Khi đó: Do $I$ là trung điểm $BC$ nên

$$ \begin{array}{l}\overrightarrow{MI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC})=2\overrightarrow{AC}-\dfrac{5}{2}\overrightarrow{BC}\\\overrightarrow{NI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC})=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}-x\overrightarrow{AC}\end{array} $$

Để $MN$ qua $I$ thì tồn tại $k$ để $\overrightarrow{NI}=k\overrightarrow{MI}\Longleftrightarrow (1+5k)\overrightarrow{BC}-(2x+4k)\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\dfrac{2}{5}\\k=-\dfrac{1}{5}\end{array}\right.$

Từ đó $\dfrac{IM}{IN}=5$

 

P/s: Góp ý với hai bạn một chút

- Nên có cái mục lục ở đầu trang.

Chẳng hạn như:

Dạng 2: Biểu diễn véctơ ở đây

Dạng 3: Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc tơ ở đây

...

Vì vào topic mình chẳng biết là các bạn đã trình bày được những vấn đề gì rồi và từng vấn đề ở chỗ nào (topic khá dài đã có tới 4 trang rồi)

- Màu chữ thì nên để màu đen (chỉ tô màu chữ Bài 1, tiêu đề thôi) để dễ nhìn các em để màu đỏ nhìn mỏi mắt lắm.

- Nếu có thời gian, mỗi bài đã đc giải các em đổi màu chữ ở chữ bài đi. Chẳng hạn bài chưa giải màu xanh, bài đã giải thì màu đỏ (nếu đc nữa thì chèn link bài giải luôn vào đấy.

Làm như thế khi các bạn vào topic sẽ biết bài nào chưa đc giải quyết sẽ tập trung vào câu đó, cũng là để các bạn khác tiên theo dõi lời giải của các bài (Vào một topic 4 trang sẽ rất ít bạn "chịu khó" lật từng trang một để xem bài nào chưa làm rồi giải  )

- Nếu đã hòm hòm kiến thức thì ta sẽ bắt đầu tổng hợp thành file cho nó hoành tráng, chỗ này thành một chuyên đề là cũng đẹp rồi 

 

Cuối cùng topic của các em lập rất hayyyyyy 

Edited by leminhansp, 19-10-2014 - 23:03.

[bangbang1412]

Xin phép đỡ bài của bạn Phạm Quang Toàn 

Gọi $H_{a}$ là trực tâm tam giác $D_{a}E_{a}F_{a}$ , $\overrightarrow{AH_{a}}=\overrightarrow{AD_{a}} + \overrightarrow{AE_{a}} + \overrightarrow{A F_{a}}$

Dễ thấy $A,B,C$ là ba tâm bàng tiếp góc $D,E,F$ của tam giác $D E F$ 

Gọi $M,N$ là trung điểm $AB,AC$ , gọi $P,Q$ là giao $D_{a}E_{a}$ với $AB$ , $D_{a}F_{a}$ với $AC$

Gọi $O$ là tam $Euler$ của tam giác $ABC$ , ta kẻ $OG$ vuông góc $MN$ , $AD$ giao $E_{a}F_{a}$ tại $I$ , $ X$ là trung điểm $ID_{a}$

Ta có $\overrightarrow{AH_{a}}= 2\overrightarrow{A X} + \overrightarrow{AI}$

Ta có $PQ$ là đường trung bình tam giác $D_{a}E_{a}F_{a}$  

                     $2\overrightarrow{A X} + \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AQ}+\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AI}$

Ta $2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN} + 2\overrightarrow{GO}$

 Và $\frac{AP}{AM} = \frac{AQ}{AN} = \frac{PQ}{MN} = \frac{E_{a}F_{a}}{2MN} = \frac{AI}{2GO}=k$

Mà $(AM,AI) ; (AQ,AN) ; (AI , GO)$ là các cặp đoạn thẳng song song  và cùng hướng ( :3 em ngại viết vecto) 

Nên $\overrightarrow{AH_{a}} || \overrightarrow{AO}$

Nên chúng đồng quy ở $O$ .

Edited by bangbang1412, 23-10-2014 - 20:29.

[pmhung512]

62)

Cho tam giác ABC. Gọi D,I lần lượt là các điểm xác định bởi hệ thức $3\overrightarrow{DB}-2\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}$
a, Tính $\overrightarrow{AD}$ theo $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$. CMR: A,I,D thẳng hàng.
b, Gọi F là trung điểm của AB, N là một điểm sao cho $\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}$. Xác định k sao cho các đường thẳng AD,FN,BC đồng quy.

c, Tìm tập hợp các điểm M sao cho $|\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}|$
d, Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại Q, R, P. CMR: $a\overrightarrow{OQ}+b\overrightarrow{OR}+ c\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{0}$ và  $\frac{OA^{2}}{bc}+\frac{OB^{2}}{ca}+\frac{OC^{2}}{ab}$
(với a=BC, b=CA, c=AB)

Edited by Viet Hoang 99, 22-11-2014 - 11:10.

[Viet Hoang 99]

 

5. Các bài tập về tích vô hướng

$46)$ Cho tam giác $ABC$ có $AB=2,BC=4,AC=3.$ Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

Gọi $I$ là trung điểm $AB$ và $J$là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{2}{3}.\overrightarrow{AC}.$

Tính $\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}$ suy ra độ dài $IJ.$

$47)$ Cho hình thang vuông $ABCD$ , đường cao $AB=3a,AD=2a,BC=\dfrac{9a}{2}$

a.Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}.$ Suy ra góc $\left ( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} \right ).$

b. Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Tính $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BD}.$

 

 

Cảm ơn ý kiến anh An nhưng có lẽ em vẫn để các bài làm rồi full đỏ, không chói lắm.

sieusieu90 post xong chẳng giải gì @@

 

46)

a)

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=|AB|.|AC|.\cos \left ( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC} \right )=6.\frac{BC^2-AB^2-AC^2}{2AB.AC}=\frac{3}{2}$

(Áp dụng định lý hàm số $\cos $)

b)

$\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{AJ}=\frac{1}{2}AB.\frac{2}{3}AC.\cos{\left (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}  \right )}=\frac{1}{2}$

47)

Áp dụng Pytago tính $AC; BD$

a) 

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}=\frac{117}{4}a.3a.\frac{AB}{AC}=9a^2$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\frac{117}{4}a.2a.\frac{BC}{AC}=9a^2$

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}.\left ( \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD} \right )=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=-9a^2+9a^2=0$

$\Rightarrow \left ( \overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD} \right )=90^o$

b)

$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BD}=\frac{9}{4}a.a\sqrt{13}.\frac{AD}{BD}=\frac{9}{2}a^2$

Edited by Viet Hoang 99, 23-11-2014 - 14:00.