15 replies to this topic

[Juliel]

CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014

THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI 

 

Câu 1 : Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :

$$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \end{matrix}\right.$$

Xét dãy $(y_n)$ như sau :

$$y_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i+2}$$

Tính $\lim y_n$.

 

Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn

$$p^{q+1}+q^{p+1}$$

là một số chính phương.

 

Câu 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Câu 4 : Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. $H$ là hình chiếu vuông góc từ $A$ xuống $BC$. Trung tuyến $CM$ của tam giác $ABC$ cắt $(ABC)$ tại $K$.

1) Chứng minh hai tam giác $KAD,KHM$ đồng dạng.

2) Chứng minh $K,H,C,D$ đồng viên.

 

Câu 5 : Cho hai tập $A,B$ có các phần tử là các số nguyên dương. Biết tổng của bất kỳ hai phần tử phân biệt của tập $A$ sẽ là một phần tử của tập $B$. Tỷ số bất kỳ của hai phần tử phân biệt của tập $B$ (ta chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn) là một phần tử của $A$. Xác định số phần tử nhiều nhất của $A\cup B$

[phamxuanvinh08101997]

 

CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014

THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI 

 

Câu 1 : Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :

$$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \end{matrix}\right.$$

Xét dãy $(y_n)$ như sau :

$$y_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i+2}$$

Tính $\lim y_n$.

 

Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn

$$p^{q+1}+q^{p+1}$$

là một số chính phương.

 

Câu 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

Câu 4 : Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. $H$ là hình chiếu vuông góc từ $A$ xuống $BC$. Trung tuyến $CM$ của tam giác $ABC$ cắt $(ABC)$ tại $K$.

1) Chứng minh hai tam giác $KAD,KHM$ đồng dạng.

2) Chứng minh $K,H,C,D$ đồng viên.

 

Câu 5 : Cho hai tập $A,B$ có các phần tử là các số nguyên dương. Biết tổng của bất kỳ hai phần tử phân biệt của tập $A$ sẽ là một phần tử của tập $B$. Tỷ số bất kỳ của hai phần tử phân biệt của tập $B$ (ta chia số lớn hơn cho số nhỏ hơn) là một phần tử của $A$. Xác định số phần tử nhiều nhất của $A\cup B$

 

File pdf cho các bạn ít thời gian online [post='']http://www.mediafire...4j24ofcz/dn.pdf[/post]

[Ispectorgadget]

 

CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014

THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI 

 

Câu 1 : Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi :

$$\left\{\begin{matrix} x_1=1\\ x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \end{matrix}\right.$$

Xét dãy $(y_n)$ như sau :

$$y_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{x_i+2}$$

Tính $\lim y_n$.

$x_{n+1}-x_n=(x_n+1)^2\ge 0 \Rightarrow x_{n+1}\ge x_n$ do đó $(x_n)$ là dãy tăng.

Giả sử $(x_n)$ bị chặn thì nó hội tụ tại $L$ chuyển qua giới hạn ta có $L=L^2+3L+1 \Leftrightarrow L=-1$ (vô lý)

Từ giả thiết ta có

$$x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1 \Rightarrow x_{n+1}+1=(x_n+1)(x_n+2)\Rightarrow \frac{1}{x_{n}+2}=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$$

Giả sử dãy không bị chặn trên nên $\lim x_n=+\infty$

Cho $i$ chạy từ $1$ đến $n$ rồi cộng lại ta được $$y_n=\frac{1}{x_1+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$$

Vậy $\lim y_n =\frac{1}{2}.$

[Trung Gauss]

Ta có: $$x_{n+1}=x_n^2+3x_n+1\\\Leftrightarrow x_{n+1}+1=x_n^2+3x_n+2=(x_n+1)(x_n+2)$$ Suy ra: $$\dfrac{1}{x_{n+1}+1}=\dfrac{1}{(x_n+1)(x_n+2)}=\dfrac{1}{x_n+1}-\dfrac{1}{x_n+2}\\\Leftrightarrow \dfrac{1}{x_n+2}=\dfrac{1}{x_n+1}-\dfrac{1}{x_{n+1}+1}$$ Suy ra: $$y_n=\sum^{n}_{i=1}\dfrac{1}{x_i+2}=\dfrac{1}{x_1+1}-\dfrac{1}{x_{n+1}+1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x_{n+1}+1}$$Từ: $x_{n+1}=x^2_n+3x_n+1>3x_n\ge 3^n$. Bằng qui nạp ta chứng minh được: $x_n\ge 3^{n-1}$ Và như vậy, ta có được: $$\boxed{\lim y_n=\dfrac{1}{2}}$$

Edited by Trung Gauss, 06-09-2014 - 20:45.

[chardhdmovies]

 

Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn

$$p^{q+1}+q^{p+1}$$

là một số chính phương.

- Với $p,q \leq 3$, thay vào ta có cặp $(p,q)=(2,2)$ thoả đề bài.
- Xét $p,q > 3$:
Ta thấy ngay $p,q$ lẻ và không chia hết cho $3$
Suy ra, $q+1$ và $p+1$ chẵn nên áp dụng tính chất của số chính phương khi chia cho $3$, ta có:

$p^{q+1} \equiv 1(mod3), q^{p+1} \equiv 1(mod3)$
$\Rightarrow p^{q+1}+q^{p+1} \equiv 2(mod3)$
$\Rightarrow p^{q+1}+q^{p+1}$ không là số chính phương.
- Nếu có 1 số bằng 3, số kia lớn hơn 3:

Giả sử $q=3,p>3$, thì ta có: $p^{q+1}+q^{p+1}=3^{p+1}+p^{4}$
Ta thấy $3^{p+1}+p^{4}$ là số chẵn.
Đặt $3^{p+1}+p^{4}=4a^{2} \Rightarrow 3^{p+1}=(2a+p)(2a-p)$

+ Nếu $2a+p \vdots 3,2a-p \vdots 3 \Rightarrow 4a \vdots 3 \Rightarrow a \vdots 3 \Rightarrow p \vdots 3$, mâu thuẫn.
 +Nếu $2a+p \vdots 3,2a-p=1 \Rightarrow 1+2p^{2}=3^{p+1}$
$p$ lẻ nên $p^{2} \equiv 1(mod4) \Rightarrow 1+2p^{2} \equiv 3(mod4)$
Ta có: $p+1$ chẵn nên: $3^{p+1} \equiv (-1)^{p+1} = 1(mod4)$
$\Rightarrow$ mẫu thuẫn
- Nếu có 1 số bằng 2, số kia lớn hơn 3;
Giả sử $p=2,q>3$, thì ta có: $p^{q+1}+q^{p+1}=2^{q+1}+q^{3}$
Đặt $q=2k+1$, ta có: $q^{3}=(a-2^{k+1})(a+2^{k+1})$
Vì $q$ nguyên tố nên ta xét 2 TH:

TH1: $\left\{\begin{matrix} a-2^{k+1}=1\\a+2^{k+1}=q^{3} \end{matrix}\right.\Rightarrow 2^{k+2}=q^{3}-1=(q-1)(q^{2}+q+1)$

Mà $q$ lẻ nên $\left\{\begin{matrix} q-1=2^{k+2}\\q^{2}+q+1=1 \end{matrix}\right.$ (vô lý)
TH2:$\left\{\begin{matrix} a-2^{k+1}=q\\a+2^{k+1}=q^{2} \end{matrix}\right. \Rightarrow q^{2}-q-2^{k+2}=0$
Ta có: $\Delta =1+2^{k+4} \Rightarrow 1+2^{k+4}=x^{2} \Rightarrow (x-1)(x+1)=2^{k+4}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x-1=2^{m}\\x+1=2^{n} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow 2^{n}-2^{m}=2 \Rightarrow 2^{n-1}-2^{m-1}=0 \Rightarrow 2^{m-1}=1 \Rightarrow m=1 \Rightarrow n=2$
Thử lại $m=1,n=2$ không thoả.
Vậy, chỉ có 1 cặp số thoả mãn đề bài là $(p,q)=(2,2)$

NRC

Edited by chardhdmovies, 06-09-2014 - 21:57.

[chardhdmovies]

Xin lỗi do mình làm sai nên mình sửa tới đâu đăng tới đó 

[ChiLanA0K48]

Câu 4 : Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $A$ tù. $H$ là hình chiếu vuông góc từ $A$ xuống $BC$. Trung tuyến $CM$ của tam giác $ABC$ cắt $(ABC)$ tại $K$.

1) Chứng minh hai tam giác $KAD,KHM$ đồng dạng.

2) Chứng minh $K,H,C,D$ đồng viên.

1)

$MH$ là trung tuyến tam giác vuông $AHB$

$\Rightarrow MA=MB=MH=\frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow \angle MBH= \angle MHB\Rightarrow \angle MAD=\angle MHC$

mà $\angle MAK=\angle MCH$ $\Rightarrow \angle DAK=\angle KMH$

dễ dàng chứng minh $\Delta MAK\sim \Delta MCB\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{MK}{MB}\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{MK}{MH}$

Gọi $N$ là trung điểm $DC$$\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành

$\Rightarrow \angle AMC=\angle ANC\Rightarrow \angle AMK= \angle AND$

mà $\angle ADN=\angle AKM(=\angle ABC)$

$\Rightarrow \Delta ADN\sim \Delta AKM\Rightarrow \frac{AK}{AD}= \frac{AM}{AN}= \frac{AM}{CM}$

$\Rightarrow \frac{AK}{AD}=\frac{MK}{MH}\Rightarrow \frac{AK}{MK}=\frac{AD}{MH}$$\Rightarrow \Delta AKD\sim \Delta MKH$

2)

$\Delta AKD\sim \Delta MKH$$\Rightarrow \angle AKD= \angle MKH\Rightarrow \angle AKC= \angle DKH\Rightarrow \angle ABC=\angle DKH\Rightarrow \angle DKH+\angle DCH=180$$\Rightarrow D,K,H,C$ thuộc cùng một đường tròn

[hoangtubatu955]

Cách làm câu hàm của tớ

[hoangtubatu955]

Xin lỗi các bạn nha, cách trên sai mất rồi, tớ đang cố gắng sửa

[davidsilva98]

 

CHỌN ĐỘI TUYỂN VÒNG TRƯỜNG 2014

THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH, ĐỒNG NAI 

 

 

Câu 2 : Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p,q)$ thỏa mãn

$$p^{q+1}+q^{p+1}$$

là một số chính phương.

 

Nếu $p,q$ cùng chẵn thì $p=q=2$ (thỏa đề bài)

 

Đặt $p^{q+1}+q^{p+1}=x^{2}$ với $\left ( x\in N \right )$

 

Nếu $p,q$ cùng lẻ thì $p^{q+1}\equiv q^{p+1}\equiv 1(mod 4)\Rightarrow x^{2}\equiv 2(mod4)$

 

Điều này mâu thuẫn vì số chính phương chia cho $4$ dư $0$ hoặc $1$

 

Nếu $p,q$ khác tính chẵn lẻ. Do vai trò $p,q$ như nhau nên giả sử $q$ chẵn và $p$ lẻ

 

Suy ra $q=2$ và $p=2k+1$

 

Ta lại có: 

$$p^{3}+2^{p+1}=x^{2}\Leftrightarrow p^{3}=x^{2}-2^{2k+2}\Leftrightarrow (x+2^{k+1})(x-2^{k+1})=p^{3}$$

 

Do $4x+2^{k+1}> x-2^{k+1}$ nên ta xét hai trường hợp sau:

  

* Trường hợp 1. $x+2^{k+1}=p^{2}\Rightarrow x-2^{k+1}=p\Rightarrow p(p-1)=2^{k+2}$

 

Do $p$ lẻ nên $p=1$ và $p-1=2^{k+2}$ (vô lý)

 

* Trường hợp 2. $x+2^{k+1}=p^{3}\Rightarrow x-2^{k+1}=1\Rightarrow p^{3}-1=2^{k+2}\Rightarrow (p-1)(p^{2}+p+1)=2^{k+2}$

 

Do $p^{2}+p+1$ lẻ nên $p^{2}+p+1=1$ (vô lý)

 

Vậy $(p,q)=(2,2)$

Edited by davidsilva98, 07-09-2014 - 12:08.

[Kool LL]

Câu 3 : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f(f(x)-y)+f(x+y)=2x,\;\forall x,y\in \mathbb{R}$ (1)

 

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Nếu $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thoả $f(x_1)=f(x_2)\overset{(2)}{\Rightarrow}x_1=x_2\Rightarrow f$ đơn ánh. (3)

 

(1) $\overset{y=\frac{f(x)-x}{2}}{\Rightarrow}f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right)=x,\ \forall x$ (4)

$\Rightarrow \forall x,\ \exists z=\frac{f(x)+x}{2}\ :\ f(z)=x$   $\Rightarrow f$ toàn ánh. (5)

 

(3)(5) $\Rightarrow f$ song ánh. (6)

 

(1)(4) $\Rightarrow f(f(x)-y)+f(x+y)=2.f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right),\ \forall x,y$ (7)

 

$\forall u,v\ :$ chọn $x=f\left(\frac{u+v}{2}\right)\ ;\ y=v-f\left(\frac{u+v}{2}\right)$ thì $f(x)-y=f\left[f\left(\frac{u+v}{2}\right)\right]+f\left(\frac{u+v}{2}\right)-v\overset{(2)}{=}u+v-v=u$  ;  $x+y=v$ (8)

 

(7)(8) $\Rightarrow f(u)+f(v)=2.f\left(\frac{u+v}{2}\right),\ \forall u,v$ (9)

Từ (6)(9) suy ra $f(x)$ có dạng : $f(x)=ax+b,\ \forall x$. Thay vào (1) ta được $\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}$  hoặc  $\begin{cases}a=-2\\b\in\mathbb{R}\end{cases}$

 

Vậy $f(x)=x\ ,\ \forall x$   hoặc   $f(x)=-2x+b\ ,\ \forall x$ ($b$ hằng số bất kì).

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

$\boxed{\text{Cách 2}}$

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Thay $x$ bởi $f_n(x)=\underset{\text{n lần}}{\underbrace{f(f(...f(x)}}$ vào (2) ta có : $f_{n+2}(x)+f_{n+1}(x)=2.f_n(x),\ \forall x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N}$

Đặt $x_n=f_n(x)\ (n\in\mathbb{N})$ ta có pt sai phân : $x_{n+2}+x_{n+1}=2.x_n$

Pt đặc trưng : $\lambda^2+\lambda=2\Leftrightarrow \lambda=1\ \vee\ \lambda=-2$

Suy ra : $x_n=C_1+C_2.(-2)^n$ ($C_1,C_2$ hằng số)

Ta có : $\begin{cases}x=x_0=C_1+C_2\\f(x)=x_1=C_1-2C_2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-f(x)=3.C_2\\2x+f(x)=2.C_1\end{cases}$

Suy ra $f(x)=x-3.C_2$   hoặc  $f(x)=-2x+2.C_1$.

Thay lần lượt mỗi hàm số trên vào (1), ta có : $C_2=0$  ;   $C_1$ tùy ý.

Vậy $f(x)=x,\ \forall x$   hoặc  $f(x)=-2x+C$ (với $C$ hằng số bất kì).

Edited by Kool LL, 07-09-2014 - 14:49.

[caybutbixanh]

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Nếu $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thoả $f(x_1)=f(x_2)\overset{(2)}{\Rightarrow}x_1=x_2\Rightarrow f$ đơn ánh. (3)

 

(1) $\overset{y=\frac{f(x)-x}{2}}{\Rightarrow}f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right)=x,\ \forall x$ (4)

$\Rightarrow \forall x,\ \exists z=\frac{f(x)+x}{2}\ :\ f(z)=x$   $\Rightarrow f$ toàn ánh. (5)

 

(3)(5) $\Rightarrow f$ song ánh. (6)

 

(1)(4) $\Rightarrow f(f(x)-y)+f(x+y)=2.f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right),\ \forall x,y$ (7)

 

$\forall u,v\ :$ chọn $x=f\left(\frac{u+v}{2}\right)\ ;\ y=v-f\left(\frac{u+v}{2}\right)$ thì $f(x)-y=f\left[f\left(\frac{u+v}{2}\right)\right]+f\left(\frac{u+v}{2}\right)-v\overset{(2)}{=}u+v-v=u$  ;  $x+y=v$ (8)

 

(7)(8) $\Rightarrow f(u)+f(v)=2.f\left(\frac{u+v}{2}\right),\ \forall u,v$ (9)

Từ (6)(9) suy ra $f(x)$ có dạng : $f(x)=ax+b,\ \forall x$. Thay vào (1) ta được $\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}$  hoặc  $\begin{cases}a=-2\\b\in\mathbb{R}\end{cases}$

 

Vậy $f(x)=x\ ,\ \forall x$   hoặc   $f(x)=-2x+b\ ,\ \forall x$ ($b$ hằng số bất kì).

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

$\boxed{\text{Cách 2}}$

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Thay $x$ bởi $f_n(x)=\underset{\text{n lần}}{\underbrace{f(f(...f(x)}}$ vào (2) ta có : $f_{n+2}(x)+f_{n+1}(x)=2.f_n(x),\ \forall x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N}$

Đặt $x_n=f_n(x)\ (n\in\mathbb{N})$ 

 Bạn có thể giải thích cách chọn $x,y$ và đặt $x_{n}=f_{n}(x)$ như trên có tác dụng gì trong việc giải phương trình hàm trên không ? Mình còn thắc mắc đoạn này.............

[Kool LL]

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Nếu $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thoả $f(x_1)=f(x_2)\overset{(2)}{\Rightarrow}x_1=x_2\Rightarrow f$ đơn ánh. (3)

 

(1) $\overset{y=\frac{f(x)-x}{2}}{\Rightarrow}f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right)=x,\ \forall x$ (4)

$\Rightarrow \forall x,\ \exists z=\frac{f(x)+x}{2}\ :\ f(z)=x$   $\Rightarrow f$ toàn ánh. (5)

 

(3)(5) $\Rightarrow f$ song ánh. (6)

 

(1)(4) $\Rightarrow f(f(x)-y)+f(x+y)=2.f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right),\ \forall x,y$ (7)

 

$\forall u,v\ :$ chọn $x_0=f\left(\frac{u+v}{2}\right)\ ;\ y_0=v-f\left(\frac{u+v}{2}\right)$ thì $f(x_0)-y_0=f\left[f\left(\frac{u+v}{2}\right)\right]+f\left(\frac{u+v}{2}\right)-v\overset{(2)}{=}u+v-v=u$  ;  $x_0+y_0=v$ (8)

 

(7)(8) $\Rightarrow f(u)+f(v)=2.f\left(\frac{u+v}{2}\right),\ \forall u,v$ (9)

Từ (6)(9) suy ra $f(x)$ có dạng : $f(x)=ax+b,\ \forall x$. Thay vào (1) ta được $\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}$  hoặc  $\begin{cases}a=-2\\b\in\mathbb{R}\end{cases}$

 

Vậy $f(x)=x\ ,\ \forall x$   hoặc   $f(x)=-2x+b\ ,\ \forall x$ ($b$ hằng số bất kì).

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

$\boxed{\text{Cách 2}}$

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Thay $x$ bởi $f_n(x)=\underset{\text{n lần}}{\underbrace{f(f(...f(x)}}$ vào (2) ta có : $f_{n+2}(x)+f_{n+1}(x)=2.f_n(x),\ \forall x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N}$

Đặt $x_n=f_n(x)\ (n\in\mathbb{N})$ ta có pt sai phân : $x_{n+2}+x_{n+1}=2.x_n$

Pt đặc trưng : $\lambda^2+\lambda=2\Leftrightarrow \lambda=1\ \vee\ \lambda=-2$

Suy ra : $x_n=C_1+C_2.(-2)^n$ ($C_1,C_2$ hằng số)

Ta có : $\begin{cases}x=x_0=C_1+C_2\\f(x)=x_1=C_1-2C_2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-f(x)=3.C_2\\2x+f(x)=2.C_1\end{cases}$

Suy ra $f(x)=x-3.C_2$   hoặc  $f(x)=-2x+2.C_1$.

Thay lần lượt mỗi hàm số trên vào (1), ta có : $C_2=0$  ;   $C_1$ tùy ý.

Vậy $f(x)=x,\ \forall x$   hoặc  $f(x)=-2x+C$ (với $C$ hằng số bất kì).

 

 Bạn có thể giải thích cách chọn $x,y$ và đặt $x_{n}=f_{n}(x)$ như trên có tác dụng gì trong việc giải phương trình hàm trên không ? Mình còn thắc mắc đoạn này.............

 

Trong C1 : Do (7) thoả $\forall x,y$ nên ta chọn $x,y$ nào cũng suy ra được được một điều gì đó. Việc chọn $x_0,y_0$ như trên là phụ thuộc vào $u,v$ (nghĩa là từ mỗi bộ $u,v$ bất kì ta tạo ra được một bộ $x_0,y_0$), để tạo ra điều (8) rồi từ đó có điều (9). Nói nôm na là từ điều (7) đúng $\forall x,y$ ta chuyển về điều (9) đúng $\forall u,v$. Việc chuyển này thực hiện được là nhờ có điều (2). Và (9) chính là đặc trưng của hàm tuyến tính bậc nhất. Đây là pp đặc trưng hàm để giải pt hàm.

 

Trong C2 : Đặt $x_{n}=f_{n}(x)$ là để đưa bài toán phương trình hàm (tìm công thức của hàm số) về bài toán phương trình sai phân (tìm công thức TQ của dãy số). Và phương trình sai phân thì đã có lý thuyết về cách giải tổng quát. Đây là pp dãy số để giải pt hàm.

 

Rõ ràng ta thấy điều số (2) chính là mấu chốt chính yếu để giải bài này trong cả 2 cách.

Edited by Kool LL, 09-09-2014 - 00:38.

[shinichigl]

 

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Nếu $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thoả $f(x_1)=f(x_2)\overset{(2)}{\Rightarrow}x_1=x_2\Rightarrow f$ đơn ánh. (3)

 

(1) $\overset{y=\frac{f(x)-x}{2}}{\Rightarrow}f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right)=x,\ \forall x$ (4)

$\Rightarrow \forall x,\ \exists z=\frac{f(x)+x}{2}\ :\ f(z)=x$   $\Rightarrow f$ toàn ánh. (5)

 

(3)(5) $\Rightarrow f$ song ánh. (6)

 

(1)(4) $\Rightarrow f(f(x)-y)+f(x+y)=2.f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right),\ \forall x,y$ (7)

 

$\forall u,v\ :$ chọn $x=f\left(\frac{u+v}{2}\right)\ ;\ y=v-f\left(\frac{u+v}{2}\right)$ thì $f(x)-y=f\left[f\left(\frac{u+v}{2}\right)\right]+f\left(\frac{u+v}{2}\right)-v\overset{(2)}{=}u+v-v=u$  ;  $x+y=v$ (8)

 

(7)(8) $\Rightarrow f(u)+f(v)=2.f\left(\frac{u+v}{2}\right),\ \forall u,v$ (9)

Từ (6)(9) suy ra $f(x)$ có dạng : $f(x)=ax+b,\ \forall x$. Thay vào (1) ta được $\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}$  hoặc  $\begin{cases}a=-2\\b\in\mathbb{R}\end{cases}$

 

Vậy $f(x)=x\ ,\ \forall x$   hoặc   $f(x)=-2x+b\ ,\ \forall x$ ($b$ hằng số bất kì).

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

$\boxed{\text{Cách 2}}$

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Thay $x$ bởi $f_n(x)=\underset{\text{n lần}}{\underbrace{f(f(...f(x)}}$ vào (2) ta có : $f_{n+2}(x)+f_{n+1}(x)=2.f_n(x),\ \forall x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N}$

Đặt $x_n=f_n(x)\ (n\in\mathbb{N})$ ta có pt sai phân : $x_{n+2}+x_{n+1}=2.x_n$

Pt đặc trưng : $\lambda^2+\lambda=2\Leftrightarrow \lambda=1\ \vee\ \lambda=-2$

Suy ra : $x_n=C_1+C_2.(-2)^n$ ($C_1,C_2$ hằng số)

Ta có : $\begin{cases}x=x_0=C_1+C_2\\f(x)=x_1=C_1-2C_2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-f(x)=3.C_2\\2x+f(x)=2.C_1\end{cases}$

Suy ra $f(x)=x-3.C_2$   hoặc  $f(x)=-2x+2.C_1$.

Thay lần lượt mỗi hàm số trên vào (1), ta có : $C_2=0$  ;   $C_1$ tùy ý.

Vậy $f(x)=x,\ \forall x$   hoặc  $f(x)=-2x+C$ (với $C$ hằng số bất kì).

 

 

bạn giải thích chỗ này giúp mình với

Edited by shinichigl, 15-09-2014 - 23:06.

[shinichigl]

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Nếu $x_1,x_2\in\mathbb{R}$ thoả $f(x_1)=f(x_2)\overset{(2)}{\Rightarrow}x_1=x_2\Rightarrow f$ đơn ánh. (3)

 

(1) $\overset{y=\frac{f(x)-x}{2}}{\Rightarrow}f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right)=x,\ \forall x$ (4)

$\Rightarrow \forall x,\ \exists z=\frac{f(x)+x}{2}\ :\ f(z)=x$   $\Rightarrow f$ toàn ánh. (5)

 

(3)(5) $\Rightarrow f$ song ánh. (6)

 

(1)(4) $\Rightarrow f(f(x)-y)+f(x+y)=2.f\left(\frac{f(x)+x}{2}\right),\ \forall x,y$ (7)

 

$\forall u,v\ :$ chọn $x=f\left(\frac{u+v}{2}\right)\ ;\ y=v-f\left(\frac{u+v}{2}\right)$ thì $f(x)-y=f\left[f\left(\frac{u+v}{2}\right)\right]+f\left(\frac{u+v}{2}\right)-v\overset{(2)}{=}u+v-v=u$  ;  $x+y=v$ (8)

 

(7)(8) $\Rightarrow f(u)+f(v)=2.f\left(\frac{u+v}{2}\right),\ \forall u,v$ (9)

Từ (6)(9) suy ra $f(x)$ có dạng : $f(x)=ax+b,\ \forall x$. Thay vào (1) ta được $\begin{cases}a=1\\b=0\end{cases}$  hoặc  $\begin{cases}a=-2\\b\in\mathbb{R}\end{cases}$

 

Vậy $f(x)=x\ ,\ \forall x$   hoặc   $f(x)=-2x+b\ ,\ \forall x$ ($b$ hằng số bất kì).

 

------------------------------------------------------------------------------------------------------

 

$\boxed{\text{Cách 2}}$

(1) $\overset{y=0}{\Rightarrow}f\left(f(x)\right)+f(x)=2x,\ \forall x$ (2)

Thay $x$ bởi $f_n(x)=\underset{\text{n lần}}{\underbrace{f(f(...f(x)}}$ vào (2) ta có : $f_{n+2}(x)+f_{n+1}(x)=2.f_n(x),\ \forall x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{N}$

Đặt $x_n=f_n(x)\ (n\in\mathbb{N})$ ta có pt sai phân : $x_{n+2}+x_{n+1}=2.x_n$

Pt đặc trưng : $\lambda^2+\lambda=2\Leftrightarrow \lambda=1\ \vee\ \lambda=-2$

Suy ra : $x_n=C_1+C_2.(-2)^n$ ($C_1,C_2$ hằng số)

Ta có : $\begin{cases}x=x_0=C_1+C_2\\f(x)=x_1=C_1-2C_2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-f(x)=3.C_2\\2x+f(x)=2.C_1\end{cases}$

Suy ra $f(x)=x-3.C_2$   hoặc  $f(x)=-2x+2.C_1$.

Thay lần lượt mỗi hàm số trên vào (1), ta có : $C_2=0$  ;   $C_1$ tùy ý.

Vậy $f(x)=x,\ \forall x$   hoặc  $f(x)=-2x+C$ (với $C$ hằng số bất kì).

Tại sao lại có cái này hả bạn

[quanghung86]

Thử so sánh bài hình với bài thi Nga

 

http://www.artofprob...c.php?p=2699657