Bài 1: Cho a,b,c dương thỏa $a+b+c=3$ CMR:
$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab} \geq 1$
Bài 2: Cho a,b,c dương thỏa $ab+bc+ca=1$ CMR_
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geq \frac{5}{2}$
Cách khác
Bài 1:
Từ giả thiết suy ra $abc\leqslant 1$
Áp dụng BĐT BCS dạng cộng mẫu:
$P=\sum\frac{a}{a+2bc}=\sum\frac{a^2}{a^2+2abc}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2+6abc}$
Để chứng minh được bài toán thì ta đi chứng minh $6abc\leqslant 2(ab+bc+ac)$ hay $3abc\leqslant ab+bc+ac$
Thật vậy $(ab+bc+ac)^2\geqslant 3abc(a+b+c)=9abc\geqslant 9(abc)^2\Rightarrow ab+bc+ac\geqslant 3abc$
Do đó có đpcm. Dấu $=$ khi $a=b=c=1$
Bài 2: BĐT cần chứng minh tương đương với
$\sum \frac{1}{(a+b)^2}+\sum \frac{2}{(a+b)(a+c)}=\sum\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geqslant \frac{25}{4}$
Theo BĐT Iran 1996 thì:
$\sum \frac{1}{(a+b)^2}\geqslant \frac{9}{4(ab+bc+ac)}=\frac{9}{4}$ $(1)$
Và $\frac{4(a+b+c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{4(a+b+c)(ab+bc+ac)}{\prod (a+b)}=\frac{4\left [ (a+b)(b+c)(c+a)+abc \right ]}{\prod (a+b)}\geqslant \frac{4\prod (a+b)}{\prod (a+b)}=4$ $(2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra đpcm
Dấu $=$ khi hoặc $a=b=1,c=0$