Chủ đề này có 3 trả lời

[shinichigl]

Cho tam giác ABC có các điểm P,Q thuộc cạnh BC sao cho AP=AQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APB cắt CA tại E khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC cắt AB tại F khác A. Lấy các điểm M,N lần lượt thuộc tia đối của các tia PE,QF sao cho PM.QN=PE.QF. R là giao điểm của BN và CM. K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác RMN. Chứng minh rằng AK vuông góc BC.

[ChiLanA0K48]

Cho tam giác ABC có các điểm P,Q thuộc cạnh BC sao cho AP=AQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APB cắt CA tại E khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC cắt AB tại F khác A. Lấy các điểm M,N lần lượt thuộc tia đối của các tia PE,QF sao cho PM.QN=PE.QF. R là giao điểm của BN và CM. K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác RMN. Chứng minh rằng AK vuông góc BC.

 

$AP=AQ$ $\Rightarrow$ $A$ thuộc trung trực $PQ$ $\Rightarrow$ đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ là trung trực $PQ$ 

Dễ dàng chứng minh $\left\{\begin{matrix} \angle PEC=\angle QBF\\ \angle EPC=\angle BQF \left ( =\angle BAC \right ) \end{matrix}\right.\Rightarrow \Delta PEC\sim \Delta QBF\Rightarrow \frac{PE}{QB}= \frac{PC}{QF}$

$\Leftrightarrow PC.QB=PE.QF$

mà $PM.QN=PE.QF$

$\Rightarrow PM.QN=PC.QB$ $\Leftrightarrow \frac{PM}{QB}= \frac{PC}{QN}$

$\Rightarrow \Delta PCM\sim \Delta QNB\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \angle QCR=\angle QNR\\ \angle PBR=\angle PMR \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $P,B,M,R$ thuộc cùng 1 đường tròn; $Q,C,N,R$ thuộc cùng một đường tròn

Gọi $(K;R)$ là đường tròn ngoại tiếp ngoại tiếp tam giác $MNR$

Gọi $H$ là trung điểm $PQ$

$P_{B/(K)}=BK^{2}-R^{2}=BR.BN=BP.BQ$

$P_{C/(K)}=CK^{2}-R^{2}=CR.CM=CQ.CB$

$\Rightarrow BK^{2}-CK^{2}=BP.BC-CQ.CB=BH^{2}-CH^{2}$

Từ đó dễ dàng chứng minh $KH \perp BC$

$\Rightarrow KH$ là trung trực của $PQ$

$\Rightarrow KA \perp BC$

[quanghung86]

Xem thêm tại đây http://diendantoanho...ăm-2014-ngày-2/

[Kool LL]

Cho tam giác ABC có các điểm P,Q thuộc cạnh BC sao cho AP=AQ. Đường tròn ngoại tiếp tam giác APB cắt CA tại E khác A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQC cắt AB tại F khác A. Lấy các điểm M,N lần lượt thuộc tia đối của các tia PE,QF sao cho PM.QN=PE.QF. R là giao điểm của BN và CM. K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác RMN. Chứng minh rằng AK vuông góc BC.

Gọi $L$ là các giao điểm khác $N$ của $QN$ với đuờng tròn $(K)$

Dễ thấy $\widehat{EPC}=\widehat{BAC}=\widehat{FQB}$ (do $AEPB,\ AFQC$ là các tứ giác nội tiếp) $\Rightarrow$$\widehat{MPQ}=\widehat{PQL}$

Do đó $\Delta PEC\sim\Delta ABC\sim\Delta QBF$ $\Rightarrow PC.QB=PE.QF\overset{(gt)}{=}PM.QN\Rightarrow\frac{PC}{PM}=\frac{QN}{QB}$

Suy ra $\Delta MPC\sim\Delta BQN\Rightarrow$$\widehat{BCM}=\widehat{RNL}=\widehat{CML}$$\Rightarrow ML//BC$ (so le trong $=$ nhau)

Như thế $MPQL$ là hình thang cân và có trục đối xứng là đuờng trung trực chung của 2 đáy $ML,PQ$ (tứ giác có 2 cạnh $//$ và 2 góc đáy $=$).

Mà $K\in$ đường trung trực của $ML$ (do $KM=KL$) nên $K$ cũng $\in$ đường trung trực của $PQ$

Mặt khác $A\in$ đường trung trực của $PQ$ (do $AP=AQ$)

Vậy $AK$ là đường trung trực của $PQ$. Nên $AK\perp PQ$. Hay $AK\perp BC$. (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 04-10-2014 - 06:36