Cái gì mà " có chút tan vỡ" ở đây, mày làm được có 3.5/ 4 bài nên tự kỷ hả em
Bài $3$ ngày $1$:
Bổ đề (Bài Toán chia kẹo Euler):
Cho $n$ em nhỏ đứng thành hàng ngang, cô giáo có trong tay $k$ cái kẹo ( $ k \ge 0 ; n \ge 1$), thì số cách chia kẹo cho $n$ em nhỏ này là $ \binom{n+k-1}{k}$
Chứng minh: số cách chia kẹo theo yêu cầu bài toán chính là hệ số của $x^k$ trong khai triển hàm sinh:
$ \mathcal{A} (x) = \left(1+x+x^2 +...\right) \left(1+x+x^2 +...\right) \cdots \left(1+x+x^2 +...\right)$
(tích này gồm $n$ thừa số)
$ \mathcal{A} (x) = \frac{1}{1-x} \cdot \frac{1}{1-x} \cdots \cdot\frac{1}{1-x} $ (tích này gồm $n$ thừa số)
$ \implies \left[ x^k \right] \mathcal{A} (x) = \left[ x^k \right] \cdot\frac{1}{(1-x)^n} =\left[ x^k \right] (1+(-x))^{-n} = (-1)^k \binom{-n}{k} = \frac{-n (-n-1) \cdots (-n-k+1) \cdot (-1)^k}{k!} = \frac{(-1)^{2k} \cdot n(n+1) \cdots (n+k-1)}{k!} $
$ = \frac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!}= \binom{n+k-1}{k}$, từ đây suy ra điều phải chưng minh.
Trở lại bài toán chính: Gọi tính chất của $1$ số tự nhiên $n$ theo mô tả trong đề là tính chất $ \alpha$
Nếu $n$ có $1$ chữ số thì $n$ chỉ có thể nhận giá trị là $7$
Nếu $n$ có $k$ chữ số $ k \ge 2$ thì giá trị lớn nhất $n$ có thể nhận là $ 7000....000$ ($n-1$ só $0$), giá trị nhỏ nhất $n$ có thể nhận là $1000....006$ ($n-2$ só $0$)
Xét số tự nhiên $n$ có $k$ chữ số, có tính chất $\alpha$,
Nếu $n$ bắt đầu bằng số $1$ thì tổng của $k-1$ chữ số còn lại là $6$, nên theo bổ đề $n$ có thể nhận : $ \binom{(k-1)+6 -1 }{6} = \binom{k+4 }{6}$ (giá tri)
Tương tự, nếu $n$ bắt đầu bằng số $2$, $n$ có thể nhận$\binom{k+3 }{5}$ (giá tri)
........
Nếu $n$ bắt đầu bằng số $7$, $n$ có thể nhận$\binom{k-2 }{0}$ (giá tri)
Suy ra nếu số tự nhiên $n$ có $k$ chữ sốcó tính chất $\alpha$, thì $n$ có thể nhận:
$ \binom{k+4 }{6} + \binom{k+3 }{5}+...+ \binom{k-1 }{1}+\binom{k-2 }{0}$
$ = \binom{k-1 }{0} + \binom{k-1 }{1} + ...+ \binom{k+3 }{5}+ \binom{k+4 }{6} $
$ = \left( \binom{k-1 }{0} + \binom{k-1 }{1} \right) + \binom{k }{2}+...+ \binom{k+3 }{5}+ \binom{k+4 }{6} $
$ = \binom{k }{1}+ \binom{k }{2}+...+ \binom{k+3 }{5}+ \binom{k+4 }{6} $
$ =...= \binom{k+4 }{5}+ \binom{k+4 }{6} = \binom{k+5 }{6}$ (giá trị) $(*)$
Câu a/: Số $2014$ nếu xét thứ tự trong dãy này thì hiển nhiên phải đứng sau các số có $1,2,3$ chữ số, ngoài ra còn phải đứng sau các số có $4$ chữ số có tính chất $\alpha$ mà bắt đầu bằng số $1$.
Xét trong số các số có $4$ chữ số có tính chất $\alpha$ mà bắt đầu bằng số $2$, thì số $2014$ đứng ngay sau số nhỏ nhất là số $2005$.
Nên theo lập luận $(*)$ ,suy ra thứ tự số $2014$ trong dãy là vị trí thứ:
$ 1+ \binom{2+5 }{6}+\binom{3+5 }{6}+ \binom{4+4 }{6} +2$
$ = 3+ \binom{7 }{6}+\binom{8 }{6}+ \binom{8}{6} = 66$
Câu b/: Thứ tự của số lớn nhất thỏa mãn các tính chất: có tính $\alpha$, có $5$ chữ số, bắt đầu bằng số $5$ là:
$ 1+ \binom{7 }{6}+\binom{8 }{6}+ \binom{9}{6}+ \binom{10}{6} - \binom{3 }{0} - \binom{4 }{1}$
$ = \binom{7 }{7}+ \binom{7 }{6}+\binom{8 }{6}+ \binom{9}{6}+ \binom{10}{6} - \binom{3 }{0} -\binom{4 }{1}$
$ = \binom{11}{7} - 5 = 325$
Từ đây suy ra: $ a_{325}= 52000$
Edited by supermember, 14-11-2014 - 11:50.