Chứng minh nếu $rank(A)=r$ thì $rank(A A^T)=r$ với $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và $A^{T}$ là ma trận chuyển vị của nó.
Chứng minh nếu $rank(A)=r$ thì $rank(A A^T)=r$
#1
Đã gửi 27-11-2014 - 14:38
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
#2
Đã gửi 27-11-2014 - 15:59
Ta chứng minh $rank \left ( A^*A \right )=rank A$, với $A^*$ là liên hợp chuyển vị của $A$ (nói riêng, trong trường hợp thực thì $A^*=A^T$).
Chỉ cần chứng minh $Ker A^*\cap Im A = 0$. Thật vậy, giả sử $v \in Ker A^*\cap Im A$, tức là $A^*v=0$ và $v=Aw$.
Khi đó
$\left \langle v,v \right \rangle = \left \langle Aw,v \right \rangle = \left \langle w,A^*v \right \rangle \left \langle w,0 \right \rangle=0 \Rightarrow v=0$.
($\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle$ là tích vô hướng)
P/s: có nhiều cách chứng minh, mình quen dùng cách này.
- quangbinng yêu thích
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
#3
Đã gửi 27-11-2014 - 16:30
Ta chứng minh $rank \left ( A^*A \right )=rank A$, với $A^*$ là liên hợp chuyển vị của $A$ (nói riêng, trong trường hợp thực thì $A^*=A^T$).
Chỉ cần chứng minh $Ker A^*\cap Im A = 0$. Thật vậy, giả sử $v \in Ker A^*\cap Im A$, tức là $A^*v=0$ và $v=Aw$.
Khi đó
$\left \langle v,v \right \rangle = \left \langle Aw,v \right \rangle = \left \langle w,A^*v \right \rangle \left \langle w,0 \right \rangle=0 \Rightarrow v=0$.
($\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle$ là tích vô hướng)
P/s: có nhiều cách chứng minh, mình quen dùng cách này.
Bạn có thể gợi ý thêm các cách không ?, mình chưa học phần Euclide
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
#4
Đã gửi 29-11-2014 - 10:24
Một bài toán khác có cùng một ý toán với bài này nhưng được diễn đạt một cách khác đã được thảo luận trên diễn đàn đã lâu như sau:
Chứng mình rằng một ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi ma trận $A^TA$ khả nghịch.
Liên kết tại đây.
- quangbinng yêu thích
#5
Đã gửi 29-11-2014 - 12:15
Một bài toán khác có cùng một ý toán với bài này nhưng được diễn đạt một cách khác đã được thảo luận trên diễn đàn đã lâu như sau:
Chứng mình rằng một ma trận vuông khả nghịch khi và chỉ khi ma trận $A^TA$ khả nghịch.
Liên kết tại đây.
Nhưng bài này dễ hơn bài em post mà anh, bài này chỉ là hệ quả thôi ạ @@
.........................................
@vo van duc: Xin lỗi! Tôi đọc nhầm đề!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-11-2014 - 14:51
- vo van duc yêu thích
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
#6
Đã gửi 30-11-2014 - 06:43
Nói là tích vô hướng cho cao sang vậy chứ thực ra như thế này.
Ta cũng cần chứng minh $\ker A^T \cap Im A = 0$.
Giả sử $v=\left ( v_1, v_2, ..., v_n \right )^T$ thoả $A^Tv=0$ và $v=Aw$. Khi đó
$$\sum_{k=1}^{n} v_k^2=v^Tv=\left ( Aw \right )^Tv=w^TA^Tv=w^T.0=0$$
Do đó $v=0$. Nghĩa là với $x \in \ker \left ( A^TA \right )\Rightarrow Ax \in \ker A^T \Rightarrow x \in \ker A$. Hay $\ker \left ( A^TA \right ) \subset \ker A$. Khi đó
$$rank \left ( A^TA \right )=\dim Im \left ( A^TA \right )=n-\ker \left ( A^TA \right )\geq n-\ker A=rank A$$
Suy ra đpcm.
- quangbinng yêu thích
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh