Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ năm học 2014-2015
Câu 1. Cho hàm số y=2x3-3mx2+6(m-2)x+2 (1). Tìm m để hàm số (1) có hai cực trị x1, x2 sao cho
$(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}).(x_{2}+\frac{1}{x_{2}})=9$
Câu 2. Giải phương trình
$sin\frac{3x}{2}=cos\frac{x}{2}.cosx.(tan^{2}\frac{x}{2}+tanx)$
Câu 3. Thầy giáo có 14 cuốn sách đôi một khác nhau, gồm 6 cuốn sách Toán, 5 cuốn sách Vật lí, 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo chọn ngẫu nhiên 7 cuốn sách trong 14 cuốn sách đó để tặng cho học sinh nghèo vượt khó. Tính xác suất để trong 7 cuốn sách được chọn có đủ 3 loại sách Toán, Vật lí và Hóa học.
Câu 4. Tính tích phân
$I=\int_{0}^{2}\frac{dx}{(x+2)\sqrt{3x^{2}+8x+4}}$
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{ABC}$ =60o. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC. Biết góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 30o. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB, SD
Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo AC là 5x+y+4=0. Tọa độ trực tâm tam giác ABC là $H(\frac{-23}{7};\frac{15}{7})$. Tọa độ trọng tâm tam giác ACD là $G(\frac{-2}{3};4)$. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D.
Câu 7. Giải phương trình
$2(5x^{2}+2)+3(x^{2}-2x)\sqrt{3x-1}=2(x^{3}+7x)$
Câu 8. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x+y+3xy=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=\frac{x+1}{y^{2}+1}+\frac{y+1}{x^{2}+1}-\sqrt{9-5xy}$