SỞ GIÁO DỤC VÀ TÀO ĐẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9
HÀ TĨNH NĂM HỌC:2014-2015
Môn:TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang
ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1:
a,Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{x+y} & & \\ xy=\sqrt{4y-3} & & \end{matrix}\right.$
b,Cho các số thực không âm $x,y$ thỏa mãn $x+y=2$.Chứng minh rằng : $2\leq \sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}\leq \sqrt{6}$
Câu 2:Với $n$ nguyên dương $(n\geq 2)$,đặt
$P_{n}=\left ( 1-\frac{1}{1+2} \right )\left ( 1-\frac{1}{1+2+3} \right )...\left ( 1-\frac{1}{1+2+3+...+n} \right )$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n(n\geq 2)$ sao cho $\frac{1}{P_{n}}$ là số nguyên
Câu 3:Cho các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn $x^2+y^2=z^2$
a,Chứng minh $A=xy$ chia hết cho 12
b,Chứng minh $B=x^3y-xy^3$ chia hết cho 7
Câu 4:Cho đường tròn $(O)$.Lấy các điểm $A,B,C$ thuộc $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB>BC>AC$.Đường tròn tâm $C$,bán kính $CB$ cắt đường thẳng $AB$ và $(O)$ lần lượt tại $D$ và $E$ ($D,E$ khác $B$)
a,Chứng minh đường thẳng $DE$ vuông góc với đường thẳng $AC$.
b,Giả sử đường thẳng $DE$ cắt $(O)$ tại $F$ (khác $E$);các đường thẳng $CO,AB$ cắt nhau tại $G$ và các đường thẳng $BE,CF$ cắt nhau tại $K$.Chứng minh $\widehat{CKG}=\widehat{CBG}$
Câu 5:Bên trong hình chữ nhật kích thước $5\times 12$ cho $n$ điểm bất kỳ.
a,Với $n=11$,chứng minh trong số các điểm đã cho luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa hai điểm đó không lớn hơn $\sqrt{13}$
b,Kết luận trên còn đúng không khi $n=10$?Tại sao
HẾT
P/S:VÌ do lỗi của diễn đàn nên TOPIC trước kia bị mất nên mình lập lại TOPIC này.Mong mọi người thông cảm và cùng mình viết bài!