Mình không có thời gian đánh Latex, mong các bạn thông cảm.
Nguồn: Facebook.
Câu hình a) $\angle BDC=\angle BDI+\angle CDI=\angle ABC+\angle ACB=180^\circ-\angle BAC$. Từ đó $ABDC$ nội tiếp. Vậy $\angle IDC=\angle ACB=\angle BDA$ hay $DA$ là đối trung của tam giác $DBC$ vậy $AD$ là đối trung của tam giác $ABC$. Từ đó $\angle BID=\angle IDC+\angle ICD=\angle ACB+\angle BAD=\angle ACB+\angle IAC=\angle BIA$. Từ đó $IO$ là phân giác ngoài góc $DIA$ với O là tâm đường tròn k. Mà O thuộc trung trực $AD$, từ đó $DIOA$ thuộc một đường tròn.
Câu b) trông hơi lạ $(E)$ tiếp xúc $AB$ tại $A$ nên $EA\perp AB$, $(F)$ tiếp xúc $AC$ tại $A$ nên $FA\perp AC$ do $\angle BAC$ không đổi nên rõ ràng $\angle EAF$ không đổi ?
Bài 3:
Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:$f(x-2f(y))=5f(x)-4x-2f(y)\left ( \forall x,y\in\mathbb{R} \right )(1)$
Thay $x=y=0$ và phương trình $(1)$:
$f(-2f(0))=5f(0)-2f(0)\Leftrightarrow f(-2f(0))=3f(0)(2)$
Thay $x=0$ và $y=-2f(0)$ vào PT (1) và sử dụng KQ $(2)$ ta có $f(-6f(0))=-f(0)(3)$
Thay $y=-6f(0)$ vào PT (1) và sử dụng KQ $(3)$ ta có:$f(x+2f(0))=5f(x)-4x+2f(0)\forall x\in\mathbb{R}(4)$
Từ $(4)$ thay $x=-2f(0)$ và sử dụng $(2)$ ta có:$f(0)=5f(-2f(0))+10f(0)\Leftrightarrow f(0)=25f(0)\Leftrightarrow f(0)=0$
Từ đây chỉ cần thay $y=0$ và phương trình $(1)$ ta tính được $f(x)=x$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 24-09-2015 - 15:39
Ngày 2 :
Bài 1 : Dãy số $(x_n)$ được xác định bởi $x_n=\frac{1}{n.\cos \left ( \frac{1}{n} \right )}$, $\forall n\in \mathbb{N}$\$\left \{ 0 \right \}$
Tìm $\lim \frac{x_1+x_3+x_5+...+x_{2n-1}}{x_2+x_4+x_6+...+x_{2n}}$
Bài 2 : Với những giá trị nào của $b$ thì tồn tại $a$ sao cho hệ phương trình sau có nghiệm :
$$\left\{\begin{matrix} (x-1)^2+(y+1)^2=b\\ y=x^2+(2a+1)x+a^2 \end{matrix}\right.$$
Bài 3 : Cho $n$ là số nguyên dương, $n\geq 2$ và $X=\{ 1;2;3;...;n\}$. $A_1;A_2;...;A_m$ và $B_1;B_2;...;B_m$ là hai dãy các tập con khác rỗng của X thỏa mãn điều kiện : Với mọi $i$ và $j$ thuộc $\{1;2;...;m\}$, $A_i\cap B_j=\not O$ nếu và chỉ nếu $i=j$.
a) Chứng minh rằng với mỗi hoán vị $(x_1,x_2,...,x_n)$ của X, có không quá một cặp $(A_i;B_i)$ với $i\in \{1;2;...;m\}$ sao cho nếu $x_k\in A_i$ và $x_l\in B_i$ thì $k<l$
b) Gọi $a_i,b_i$ lần lượt là số phần tử của các tập $A_i;B_i$.
Chứng minh rằng : $\sum _{i=1}^m \frac{1}{\textrm{C}^{a_i}_{a_i+b_i}}\leq 1$
Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Đường tròn (I) qua B và C lần lượt cắt BA, CA tại E, F.
a) Giả sử các tia BF, CE cắt nhau tại D và T là tâm (AEF). Chứng minh $OT//ID$
b) Trên BF, CE lần lượt lấy các điểm G, H sao cho $AG\perp CE$ và $AH\perp BF$. Các đường tròn (ABF), (ACE) cắt BC tại các điểm M, N ( khác B và C ) và cắt EF tại P, Q ( khác E và F ). Gọi K là giao điểm MP và NQ. Chứng minh $DK\perp GH$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoanglong2k: 24-09-2015 - 17:16
Mình không có thời gian đánh Latex, mong các bạn thông cảm.
Nguồn: Facebook.
2a
áp dụng bđt BCS ta có
$(12a^{2}+6b^{2}+4c^{2}+3d^{2})(\frac{1}{12}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{3})$$\geq (a+b+c+d)^{2}$
mà
$(12a^{2}+6b^{2}+4c^{2}+3d^{2})$$=(3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a^{2}+b^{2})+6a^{2}$ $\leq 120$
nên$( a+b+c+d) \leq 10$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 27-09-2015 - 14:47
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 06-07-2016 - 21:20
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UphluMuach: 07-07-2016 - 21:21
Lời giải cho bài 4, ngày 2:
a) Gọi $V$ là giao điểm của $(AEF)$ với $(O)$. Vẽ đường kính $AL$ của $(O)$ cắt $(AEF)$ tại $S$ khác $A \Rightarrow$ $A$, $S$, $T$ thẳng hàng. Qua $T$ lấy $I'\in VL$ sao cho $TI'//AL$. Ta có $\widehat{OAC}+\widehat{AFE}=90^{o}-\frac{\widehat{BOC}}{2}+\widehat{ABC}=90^{o}$ nên $OA\bot EF$. Nên ta có $I'$ nằm trên trung trực $EF$. Mặt khác, do $OI'$ là đường trung bình của $\Delta ASL$ nên $I'$ cũng nằm trên trung trực $BC\Rightarrow I'\equiv I$. Do đó $I\in VL$.
$VL$ lần lượt cắt $EF$ và $BC$ tại $X$ và $Y$. Bằng việc sử dụng trục đẳng phương, ta có $AV$, $EF$, $BC$ đồng qui (gọi điểm đó là $U$). Từ đó, ta cũng có được $X$ là trực tâm $\Delta AUL$ nên $AX$ cắt $UL$ tại một điểm thuộc đường tròn $(O)$ (gọi điểm này là $Z$).
Ta có $(FEXU)=(EFUX)=A(BCVZ)=L(BCVZ)=(BCYU)$ nên $BF$, $CE$, $XY$ đồng qui tại D nên ta có $đpcm$.
b) Ta có $\widehat{BCE}=\widehat{BEP}=\widehat{BMP}$ nên $PM//CE$.Tương tự, $QN//BE$. Do đó, $\widehat{PMN}=\widehat{BFE}=\widehat{PQN}$ nên $PNMQ$ nội tiếp$\Rightarrow \overline{KM}.\overline{KP}=\overline{KN}.\overline{KQ}$ nên $K$ thuộc trục đẳng phương của $(ABF)$ và $(ACE)$. Mà ta dễ dàng chứng minh được $A$ và $D$ cũng thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn này nên $A$, $D$, $K$ thẳng hàng. Do đó $D$ là trực tâm $\Delta AGH$ nên $DK\bot GH$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhrongcon2000: 08-07-2016 - 22:16
$\lim_{x \to \infty } Love =+\infty$
Lời giải cho bài 4, ngày 2:
a) Gọi $V$ là giao điểm của $(AEF)$ với $(O)$. Vẽ đường kính $AL$ của $(O)$ cắt $(AEF)$ tại $S$ khác $A \Rightarrow$ $A$, $S$, $T$ thẳng hàng. Qua $T$ lấy $I'\in VL$ sao cho $TI'//AL$. Ta có $\widehat{OAC}+\widehat{AFE}=90^{o}-\frac{\widehat{BOC}}{2}+\widehat{ABC}=90^{o}$ nên $OA\bot EF$. Nên ta có $I'$ nằm trên trung trực $EF$. Mặt khác, do $OI'$ là đường trung bình của $\Delta ASL$ nên $I'$ cũng nằm trên trung trực $BC\Rightarrow I'\equiv I$. Do đó $I\in VL$.
$VL$ lần lượt cắt $EF$ và $BC$ tại $X$ và $Y$. Bằng việc sử dụng trục đẳng phương, ta có $AV$, $EF$, $BC$ đồng qui (gọi điểm đó là $U$). Từ đó, ta cũng có được $X$ là trực tâm $\Delta AUL$ nên $AX$ cắt $UL$ tại một điểm thuộc đường tròn $(O)$ (gọi điểm này là $Z$).
Ta có $(FEXU)=(EFUX)=A(BCVZ)=L(BCVZ)=(BCYU)$ nên $BF$, $CE$, $XY$ đồng qui tại D nên ta có $đpcm$.
Câu a có thể làm ngắn gọn hơn:
Gọi $V$ là giao điểm thứ hai của $(AEF)$ với $(O)$ như trên thì dễ chỉ ra $AV$, $EF$, $BC$ đồng quy. Theo định lý Brokard thì $ID \perp AV$, lại có $OT \perp AV$ do $AV$ là dây chung của $(O)$ và $(T)$ nên $OT \parallel ID$.
Bài 2b, ngày 1
$A= ad+bc\Rightarrow 24A=2(3.4a.d+2.3b.2c)\leq 3(16a^2+d^2)+2(9b^2+4c^2)=30a^2+10(a^2+b^2)+5(a^2+b^2+c^2)+3(a^2+b^2+c^2+d^2)\leq 240\Rightarrow A\leq 10$ (đpcm)
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh