Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển KHTN Vòng II


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 15 trả lời

#1 Nguyen Huy Tuyen

Nguyen Huy Tuyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 22-09-2015 - 20:54

Ngày thi 3

 

Bài 1: Cho dãy ($a_{n}$) thỏa mãn  $a_0=1$ và $a_{n+1}=\frac{-3}{7}(\sqrt{(a_n^2+1)^3}+a_n^3)$

CMR: $(a_n)$ hội tụ và tìm $lim(a_n)$

 

Bài 2: Tìm tất cả n nguyên dương sao cho $3^n+4^n+5^n\mid 60^n$

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

 

Bài 4: $x,y,z$ là 3 số nguyên dương sao cho $x+y+z=1$ Tìm giá trị lớn nhất của 

$P=\sqrt{\frac{x^2y}{4x+5y}}+\sqrt{\frac{y^2z}{4y+5z}}+\sqrt{\frac{z^2x}{4z+5x}}$

 

Ngày thi 4

 

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-1)f(y^2)=y(xy)-yf(y)$ 

 

Bài 2: Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} a_0=a_1=5\\ a_{n+1}=7a_n-a_{n-1}+44 \end{matrix}\right.$

CMR: $a_n$ là tổng 2 số chính phương 

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, đường tròn $(K)$ đi qua $B,C$ cắt đoạn $AC,AB$ tại $E,F$. $M,N$ đối xứng $B,C$ lần lượt qua $E,F$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(AMN)$ cắt $MN,BC$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $A$ là trung điểm của $PQ$

 

Bài 4: Cho bảng $n\times n$ $(n\in N^*)$ và số $k\leqslant n$ Điền vào các ô trong bảng $n\times n$ các số thực thuộc đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng các số trên mỗi bảng con $k\times k$ bằng $0$. Tìm giá trị lớn nhất của tổng tất cả các số trên bảng $n\times n$


Sống đơn giản, lấy nụ cười làm căn bản !


#2 pdtienArsFC

pdtienArsFC

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nơi tình yêu Toán Học bắt đầu
  • Sở thích:Học Toán,Làm Toán,Nháp Toán,Giải Toán...

Đã gửi 22-09-2015 - 22:34

Ngày thi 4

 

Bài 1: Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn $f(x-1)f(y^2)=y(xy)-yf(y)$ (1)

 

 

 

+, f hằng: $f\equiv 0$

+, f không hằng:

Thay $x=1$ vào (1), ta có: $f(0).f(y^2)=0$

Do đó: $f(0)=0$

Thay $x=0$ vào (1), ta có: $f(-1)f(y^2)=-yf(y)$ (2)

Thay $y=-1$ vào (2), ta có: $f(-1).f(1)=f(-1)$

                                   $f(1)=1$(t/m) hoặc $f(-1)=0$(loại do (2))

Thay $y=1$ vào (1), ta có: $f(x-1)=f(x)-1$ (3)

Do đó: $f(-1)=-1$ và (2) trở thành: $f(y^2)=yf(y)$ (4)

Thế (3), (4) vào (1), ta có: $f(x).f(y)=f(xy)$ (5)

Thay $x=y$ vào (5), ta có: $f^2(x)=f(x^2)=xf(x)$ nên $f(x)=x$.

        


                           80b68e1e79774daab705a98543684359.0.gif

 


#3 MiuraHaruma

MiuraHaruma

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 24-09-2015 - 00:43


Tìm tất cả $n$ nguyên dương sao cho $60^n \vdots 3^n+4^n+5^n$

Do $60^n=3^n.2^{2n}.5^n$ nên $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y.5^z$ với $x, y, z$ nguyên dương và $x, z \leq n, y \leq 2n$

$1,$ Nếu $x, z \geq 1$ thì $4^n+5^n \vdots 3 (1)$, đồng thời $4^n+3^n \vdots 5 (2)$.
Khi đó, từ $(1)$ thì $n$ lẻ, tức là $4^n+3^n \equiv (-1)+3.(-1)^k \equiv -4,2 (mod$$5)$, mâu thuẫn.
Vậy $x$ hoặc $z$ bằng $0$.

$2,$ Nếu $x=0$ thì $3^n+4^n+5^n=2^y.5^z$
Từ đó, ta có: $3^n+4^n \vdots 5$ tức $n=4k+2$ $\Rightarrow$ $3^n+5^n \equiv 2 (mod 4)$. Vậy $y=1$. Thay vào thì: $3^n+4^n+5^n=2.5^z$ với $n=4k+2$:
Ta có: $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(2k+1)$. Từ đó $v_5(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n, 2+v_5(2k+1)} \Leftrightarrow z=n$ hoặc$ z=2+v_5(2k+1)$
- Nếu $z=n$ thì $3^n+4^n=5^n$. Phương trình chỉ có nghiệm với $n=2$ theo định lý Fermat lớn.
- Nếu $z=v_5(2k+1)+2$ thì $n=2.5^z.b$ với $(b,5)=1, b>0$. Nhân 2 vế phương trình với $2b$ thì $b(3^n+4^n+5^n)=25n$. Dễ thấy, VT $>$ VP khi $n \geq 3$. Tức pt vô nghiệm

$3,$ Nếu $z=0$ thì $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y$
- Dễ dàng suy ra được $n$ lẻ
- Ta chứng minh $3^n+5^n$ không chia hết cho $16$ với n lẻ. Thật vậy:
$3^{4k+r}+5^{4k+r} \equiv 81^k.3^r+625^k.5^r \equiv 3^r+5^r \equiv 8$ (mod 16). Mà $3^n+5^n \vdots 8$ nên $v_2(3^n+5^n)=3 \Rightarrow v_2(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n; 3}$
+ Nếu $n \leq 3$ thì $n=1, n=3$ thoả mãn
+ Nếu $n >3$ thì $y=3$. Thay vào, $3^n+4^n+5^n=8.3^x$
Tương tự trên, ta tính được $x=v_3(n)+2$ hoặc $x=n$
a, Nếu $x=n$ tức $n \leq v_3(n)+2$ tức $n \leq 3$
b, Nếu $x=v_3(n)+2$ thì $c(3^n+4^n+5^n)=72n$. Phương trình này có VT $>$ VP nếu $n>3$.

Kết luận: $n=1$ hoặc $n=3$ hoặc $n=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MiuraHaruma: 24-09-2015 - 20:33

"Every saint has a past, every sinner has a future"

#4 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 24-09-2015 - 06:29

Do $60^n=3^n.2^{2n}.5^n$ nên $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y.5^z$ với $x, y, z$ nguyên dương và $x, z \leq n, y \leq 2n$

$1,$ Nếu $x, z \geq 1$ thì $4^n+5^n \vdots 3 (1)$, đồng thời $4^n+3^n \vdots 5 (2)$.
Khi đó, từ $(1)$ thì $n$ lẻ, tức là $4^n+3^n \equiv (-1)+3.(-1)^k \equiv -4,2 (mod$$5)$, mâu thuẫn.
Vậy $x$ hoặc $z$ bằng $0$.
 

Mình nghĩ là chỗ này nên xét thêm $x=z=0$ nữa.

 

 

$2,$ Nếu $x=0$ thì $3^n+4^n+5^n=2^y.5^z$
Từ đó, ta có: $3^n+4^n \vdots 5$ tức $n=4k+2$ $\Rightarrow$ $3^n+5^n \equiv 2 (mod 4)$. Vậy $y=1$. Thay vào thì: $3^n+4^n+5^n=2.5^z$ với $n=4k+2$:
Ta có: $v_5(3^n+4^n)=v_5(n)+v_5(9)=v_5(n)$. Từ đó $v_5(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n, v_5(n)} \Leftrightarrow z=n$ hoặc$ z=v_5(n)$

Chỗ này bạn sử dụng bổ đề LTE không đúng, nên là $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(n)=2+v_5(n)$. Khi đó hoặc $z=n<v_5(n)+2$ hoặc $z=v_5(n)+2<n$ hoặc $v_5(n)+2=n$.

 

 

$3,$ Nếu $z=0$ thì $3^n+4^n+5^n=3^x.2^y$
- Dễ dàng suy ra được $n$ lẻ
- Ta chứng minh $3^n+5^n$ không chia hết cho $16$ với n lẻ. Thật vậy:
$3^{4k+r}+5^{4k+r} \equiv 81^k.3^r+625^k.5^r \equiv 3^r+5^r \equiv 8$ (mod 16). Mà $3^n+5^n \vdots 8$ nên $v_2(3^n+5^n)=3 \Rightarrow v_2(3^n+4^n+5^n)=$ min ${n; 3}$

Bổ đề LTE hoàn toàn có thể áp dụng để chứng minh $v_2(3^n+5^n)=3$ với $n$ lẻ.


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#5 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1396 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ĐH Quốc Gia Hà Nội}$ $\textrm{Trường ĐH Công Nghệ}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 24-09-2015 - 15:19

 

 

Bài 4: $x,y,z$ là 3 số nguyên dương sao cho $x+y+z=1$ Tìm giá trị lớn nhất của 

$P=\sqrt{\frac{x^2y}{4x+5y}}+\sqrt{\frac{y^2z}{4y+5z}}+\sqrt{\frac{z^2x}{4z+5x}}$

 

Sử dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta được:

 

$$\mathbb{VT}^2\leq \left ( \sum xy \right )\left ( \sum \frac{x}{4x+5y} \right )$$

 

Ta đưa bài toán về chứng minh:

 

$$\left ( \sum xy \right )\left ( \sum \frac{x}{4x+5y} \right )\leq \frac{1}{9}$$

 

hay $q\left ( \frac{x}{4x+5y}+\frac{y}{4y+5z}+\frac{z}{4z+5x} \right )\leq \frac{1}{9}$

 

Trong đó:$q=xy+yz+xz,0< q\leq \frac{1}{3}$.Mặt khác cũng theo BĐT $C-S$ ta có:

 

$4\sum \frac{x}{4x+5y}=3-5\sum \frac{y}{4x+5y}\leq 3-\frac{5(x+y+z)^2}{4(xy+yz+xz)+5(x^2+y^2+z^2)}=3-\frac{5}{5-6q}=\frac{10-18q}{5-6q}$

 

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:$\frac{q(5-9q)}{2(5-6q)}\leq \frac{1}{9}\Leftrightarrow (1-3q)(10-27q)\geq 0$ (Luôn đúng vì $q\leq \frac{1}{3}$)

 

BĐT được chứng minh $\blacksquare$



#6 an1712

an1712

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Đông Triều Quảng Ninh
  • Sở thích:one piece, bảy viên ngọc rồng

Đã gửi 24-09-2015 - 15:47

câu 1

 

Ngày thi 3

 

Bài 1: Cho dãy ($a_{n}$) thỏa mãn  $a_0=1$ và $a_{n+1}=\frac{-3}{7}(\sqrt{(a_n^2+1)^3}+a_n^3)$

CMR: $(a_n)$ hội tụ và tìm $lim(a_n)$

 

 

dễ chứng minh $ a_{n}<0 $ với n>0

xét hàm:$f(x)=\frac{-3}{7}((x+1)^{\frac{3}{2}}+x^3)$

=> $f'(x)=-\frac{3}{7}(3x\sqrt{x^2+1}+3x^2)< 0$ với x<0

=> dãy  $ a_{n} $ đơn điệu 

mà  $a_{1}<a_{2}<....$

nên dãy $a_{n}$ tăng với n>0

mà $a_{n}\frac{-3}{7}$

=> đpcm

b) giải phương trình giới hạn, nhưng mình làm chưa ổn


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi an1712: 24-09-2015 - 15:49

tiến tới thành công  :D


#7 MiuraHaruma

MiuraHaruma

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 24-09-2015 - 20:30

 Chỗ này bạn sử dụng bổ đề LTE không đúng, nên là $v_5(3^n+4^n)=v_5(25)+v_5(n)=2+v_5(n)$. Khi đó hoặc $z=n<v_5(n)+2$ hoặc $z=v_5(n)+2<n$ hoặc $v_5(n)+2=n$

Cảm ơn Toàn, mình cũng ms phât hiện lỗi sai này lúc sáng :D

 Bổ đề LTE hoàn toàn có thể áp dụng để chứng minh $v_2(3^n+5^n)=3$ với $n$ lẻ.

Lúc bọn mình học thầy không nhắc đến $v_2(x^n+y^n)$ mà chỉ có $v_2(x^n-y^n)$ nên mình nghĩ là trường hợp đó không sử dụng LTE được :P
"Every saint has a past, every sinner has a future"

#8 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 24-09-2015 - 22:58

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

 

Loay hoay mãi mới được câu $a$. 

                                                                     

Lời giải : 

a, Qua $E,F$ kẻ các đường thẳng song song $AB,AC$. Hai đường thẳng này cắt $AK,AL$ lần lượt tại $D,J$ 

Gọi $H\equiv ED \cap FK$, $O \equiv EL \cap FJ$ 

Ta có $\angle BFH=\angle EHF=180^o-\angle HEF-\angle HFE=180^o- \angle FAE-\angle AFE=\angle AEF=\angle EFO$

Tương tự $\angle FEO=\angle CEH$

Suy ra $\angle BAH=\angle CAO$ (tính chất đẳng giác)

$\Rightarrow \bigtriangleup FAO\sim \bigtriangleup EAH(g.g)$

$\Rightarrow \frac{FA}{FO}=\frac{EA}{EH}$

$\frac{DE}{HE}=\frac{AB}{FB}=\frac{AC}{EC}=\frac{FJ}{FO}$

Từ 2 điều trên suy ra $\frac{DE}{AE}=\frac{JF}{AF}$

$\Rightarrow \bigtriangleup AED \sim \bigtriangleup AFJ(c.g.c)$

$\Rightarrow \angle KAE=\angle LAF\Rightarrow Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 27-09-2015 - 10:47

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#9 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 26-09-2015 - 01:19

 

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

 

 

Mình xin phép làm bài hình:

ý a, ( khá đơn giản nên mạn phép không vẽ hình)  Kéo dài $ BE $, $CF$ cắt đường tròn $(ABC)$ tại $ P,Q$ khi đó thì chỉ cần phát hiện ra  các tứ giác $ PQKL$, $AFKP$ và $AELQ$ nội tiếp là ta có điểu phải chứng minh.

b,

 Đây là lời giải của mình cho câu b:
Gọi $ T $ là giao điểm 2 tiếp tuyến tại $ B,C $ của đường tròn $ (ABC) $, $ J $ là trung điểm $ BC $. $ R $ là điểm đối xứng của $ T $ qua $ J $. Từ $ EF||BC $ nên $ A,Y,T $ thẳng hàng, $ A,X,J $ thẳng hàng và $ EY|| CT $, tức $ \frac{EA}{EC}=\frac{YA}{YT} $.
Lại theo định lý menelaus cho tao giác $ AJC $ cát tuyến $ B,X,E $ ta có:
$ \frac{XA}{XJ}.\frac{BJ}{BC}.\frac{EC}{EA}=1 $. 
Như vây ta thu được:
$ \frac{XZ}{XJ}.\frac{YA}{YT}=2 $, từ đây theo menelaus cho tam giác $ AJT $ thì $ X,Y,R $ thẳng hàng, hay $ XY $ luôn đi qua $ R $ cố định.

Hình gửi kèm

  • ScreenHunter_43 Sep. 26 01.04.jpg


#10 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-09-2015 - 08:06

Phần b) Thế có 1 phát hiện hay về điểm cố định, chứng minh đúng, tuy vậy... em đọc sai đề :D!



#11 MiuraHaruma

MiuraHaruma

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 26-09-2015 - 16:38

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.
(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$
(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

b, Gọi giao điểm $XY$ và $BC$ là $I$. Ta sẽ chứng minh $AI$ là đường đối trung trong tam giác $ABC$.
Thật vậy, dễ thấy hình thang $FMNE$ cân. Gọi $K$ là giao điểm $XY$ và $EF$ thì theo định lý Talet:
$\frac{IC}{IB}=\frac{KF}{KE}=\frac{IM}{IN}=\frac{sin\widehat{MYI}}{sin\widehat{NYI}}$(do $IM=IN$)$=\frac{sin\widehat{MFC}.FX.XY}{sin\widehat{NEB}.XE.XY}=\frac{sin\widehat{FMC}.MC.XF.BE}{sin\widehat{BNE}.FC.NB.XE}=\frac{MC}{NB}$ (do $MN$ song song với $EF$)
Mặt khác,$ \Delta MEC \sim \Delta NBF$ nên $\frac{NB}{ME}=\frac{NF}{MC}=\frac{BF}{CE}$ $\Rightarrow$ $ME^2=NB.MC$ $\Rightarrow$ $\frac{MC}{NB}=\frac{NB.MC}{NB^2}=\frac{ME^2}{NB^2}=(\frac{CE}{BF})^2=(\frac{AC}{AB})^2$ (2)
Từ (1), (2) $\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MiuraHaruma: 26-09-2015 - 16:42

"Every saint has a past, every sinner has a future"

#12 Belphegor Varia

Belphegor Varia

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 227 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Ninh Binh
  • Sở thích:Number theory , Geometry

Đã gửi 26-09-2015 - 17:51

Bài 3: Cho $\Delta ABC$, $E,F$ lần lượt thuộc $CA,AB$ sao cho $EF\parallel BC$. Tiếp tuyến tại $E,F$ của $(AEF)$ cắt $BC$ tại $M,N$ $BE,CF$ lần lượt cắt $FN,EM$ tại $K,L$.

(a) CMR: $\widehat{KAB}=\widehat{LAC}$

(b) $BE$ cắt $CF$ tại $X$, $EN$ cắt $FM$ tại $Y$. CMR: $XY$ đi qua điểm cố định khi $E,F$ di chuyển.

Câu b           

                                                                  12053090_1632034467057754_733150709_n.jp

 

Gọi $R$ là giao của $FN$ và $EM$,$I$ là giao của $AR$ và $BC$. Dễ thấy $AI$ là đường đối trung của tam giác $ABC$. Ta cần chứng minh $X,Y,I$ thẳng hàng.

Lấy $K$ là giao của $AR$ và $EF$. 

Ta có các kết quả sau : 

$\frac{XC}{XF}=\frac{BC}{EF},$ 
 
$\frac{YF}{YM}=\frac{EF}{MN},$
 
$\frac{IM}{KE}=\frac{MN}{EF}\Rightarrow \frac{IM}{IC}=\frac{MN.KE}{EF.IC}=\frac{MN.EF}{EF.BC}=\frac{MN}{BC}$
 
Suy ra $\Rightarrow \frac{XC}{XF}.\frac{YF}{YM}.\frac{IM}{IC}=1$
Suy ra $X,Y,I$ thẳng hàng (Menelaus) $\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Belphegor Varia: 26-09-2015 - 17:53

$ \textbf{NMQ}$

Wait a minute, You have enough time. Also tomorrow will come 

Just take off her or give me a ride 

Give me one day or one hour or just one minute for a short word 

 


#13 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 26-09-2015 - 23:20

Đáp án đã công bố trên AoPS http://artofproblems...and_fixed_point

 

Sau đây là bản tiếng Việt

 

a) Gọi $BE,CF$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $S,T$. Ta có $\angle BFN=180^\circ-\angle NFE-\angle EFA=180^\circ-\angle BAC-\angle ABC=\angle ACB=\angle ASB$. Từ đó tứ giác $AFKS$ nội tiếp, ta suy ra $\angle KAB=\angle FSE$. Tương tự $\angle LAC=\angle FTE$. Mặt khác $\angle FEB=\angle EBC=\angle STF$. Từ đó tứ giác $EFTS$ nội tiếp. Suy ra $\angle KAB=\angle FSE=\angle FTE=\angle LAC$. Ta có điều phải chứng minh.
   
b) Từ tính chất góc của tiếp tuyến ta dễ có $\angle BFN=\angle ECM,\angle CEM=\angle FBN$. Vậy các tam giác $FBN$ và $CEM$ đồng dạng. Chú ý $FN=EM$ nên $\dfrac{BN}{CM}=\dfrac{BN}{ME}.\dfrac{FN}{CM}=\dfrac{FB}{EC}.\dfrac{FB}{EC}=\dfrac{FB^2}{EC^2}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$. Gọi $XY$ cắt $BC$ tại $P$. Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $FMC$ với $X,Y,P$ thẳng hàng ta có $\dfrac{PM}{PC}.\dfrac{XC}{XF}.\dfrac{YF}{YM}=1$. Tương tự áp dụng Menelaus cho tam giác $ENB$ với $X,Y,P$ thẳng hàng ta có $\dfrac{PN}{PB}.\dfrac{XB}{XE}.\dfrac{YE}{YN}=1$. Ta lại chú ý do $EF\parallel BC$ nên $\dfrac{XC}{XF}=\dfrac{XB}{XE}$ và $\dfrac{YF}{YM}=\dfrac{YE}{YN}$. Từ đó ta thu được $\dfrac{PM}{PC}=\dfrac{PN}{PB}$ hay $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{PC}{PB}=\dfrac{PC-PM}{PB-PN}=\dfrac{CM}{BN}=\dfrac{AC^2}{AB^2}$ không đổi nên $P$ cố định. Từ đó $XY$ đi qua $P$ cố định.

Hình gửi kèm

  • Fig20.png


#14 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 430 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 27-09-2015 - 23:56

Phần b) Thế có 1 phát hiện hay về điểm cố định, chứng minh đúng, tuy vậy... em đọc sai đề :D!

Vâng ạ, hì. Ngại quá, tự nhiên thế còn đọc nhầm đề.
Em xin phép up lời giải cho bài trên ạ ( Lần này chắc không nhầm đề nữa, hì )


Phần b) Thế có 1 phát hiện hay về điểm cố định, chứng minh đúng, tuy vậy... em đọc sai đề :D!

Vâng ạ, hì. Ngại quá, tự nhiên thế còn đọc nhầm đề.
Em xin phép up lời giải cho bài trên ạ ( Lần này chắc không nhầm đề nữa, hì )

Hình gửi kèm

  • 12027739_417762278421117_2141625132967369926_n.jpg


#15 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 28-09-2015 - 07:59

Ổn rồi Thế, nhưng nhầm mà lại phát hiên ra một bài mới hay, thì rất đáng nhầm :D!



#16 toanhoc2017

toanhoc2017

    Trung úy

  • Thành viên
  • 884 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 14:13

HAY






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh