Buổi thi thứ hai.
Bài 5. (7 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $AB> AC$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Các đường trung trực của $AB,AC$ cắt tia $AM$ tại $D,E$ tương ứng. Đường thằng $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $F$ ($F$ nằm trong tam giác $ABC$)
a) Chứng minh $AF$ là phân giác ngoài góc $EFD$
b) Chứng minh rằng $A,N,F,P$ cùng nằm trên một đường tròn.
a)Ta chứng minh $AF$ là đường đối trung kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.
Gọi $I,J$ lần lượt là hình chiếu của $F$ trên $AB,AC$. $G,H$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên $AB,AC$
Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{FI}{FJ}=\dfrac{AB}{AC}$
Thật vậy theo định lý $Thales$ ta có: $\dfrac{FI}{PD}=\dfrac{BF}{BD}, \dfrac{EN}{FJ}=\dfrac{CE}{CF}$
Do đó chỉ cần chứng minh: $\dfrac{CE}{CF}.\dfrac{BF}{BD}.\dfrac{PD}{EN}=\dfrac{AB}{AC}$
Theo định lý $Menelaus$ cho tam giác $EDF$ với $B,M,C$ thẳng hàng ta được: $\dfrac{CE}{CF}.\dfrac{BF}{BD}=\dfrac{ME}{MD}$. Suy ra cần chứng minh $\dfrac{ME}{MD}.\dfrac{PD}{EN}=\dfrac{AB}{AC}$
Theo định lý $Thales$ ta lại có:$\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{ME}{AM}.\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{NH}{AH}.\dfrac{AG}{GP}$
Do đó chỉ cần chứng minh: $\dfrac{NH}{GP}.\dfrac{AG}{AH}.\dfrac{PD}{EN}=\dfrac{AB}{AC}$
Gọi $X$ là trung điểm $AM$ thì $X$ là trung điểm $PN$. Ta có: Tứ giác $AGMH$ nội tiếp $(X)$
Ta có: $\mathcal{P}_{P/(X)}=PX^2-\dfrac{AM^2}{4}=NX^2-\dfrac{AM^2}{4}=\mathcal{P}_{P/(X)}$
Suy ra $PG.PA=NA.NH \Leftrightarrow \dfrac{PG}{NH}=\dfrac{AN}{AP}=\dfrac{AC}{AB}$
Do đó cần chứng minh: $\dfrac{AG}{AH}=\dfrac{EN}{PD}$
Ta có: $\dfrac{EN}{PD}=\dfrac{EN.AN}{PD.AP}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{S_{AEN}}{S_{APD}}.\dfrac{AB}{AC}$
Ta có: $S_{AMN}=S_{AMP}=\dfrac{1}{4}S_{ABC}$
Do đó ta có: $\dfrac{S_{AEN}}{S_{APD}}=\dfrac{S_{AEN}}{S_{AMN}}.\dfrac{S_{AMP}}{S_{APD}}=\dfrac{AE}{AM}.\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AE}{AD} \Rightarrow \dfrac{EN}{PD}=\dfrac{AE}{AD}.\dfrac{AB}{AC}$
Áp dụng định lý $Thales$ ta có:$\dfrac{AE}{AD}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AM}.\dfrac{AM}{AD}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AN}{AH}.\dfrac{AG}{AP}.\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AG}{AH}$
Suy ra $AF$ là đường đối trung kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$
Ta có: $\widehat{EDF}+\widehat{DEF}=2\left(\widehat{BAD}+\widehat{CAE}\right)=2\widehat{BAC} \Rightarrow \widehat{EFD}=180^o-2\widehat{BAC}$
Lại có: $\widehat{AFE}=\widehat{FAC}+\widehat{FCA}=\widehat{MAB}+\widehat{EAC}=\widehat{BAC}$ (vì $AF$ là đường đối trung kẻ từ $A$ nên $\widehat{FAC}=\widehat{MAB})$
Do đó $AF$ là phân giác ngoài góc $\widehat{EFD}$
b) Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Suy ra $A,P,O,N$ cùng nằm trên $1$ đường tròn
Ta có: $\widehat{BFC}=180^o-\widehat{EFD}=2\widehat{BAC}=\widehat{BOC}$
Suy ra 4 điểm $B,C,O,F$ cùng nằm trên 1 đường tròn
Do đó: $\widehat{EFO}=\widehat{OBC}=90^o-\widehat{BOM}=90^o-\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\widehat{EFD}$
Do đó $OF$ là phân giác trong góc $\widehat{EFD}$
Suy ra $AF$ là phân giác ngoài góc $\widehat{AFO}=90^o$
Do đó 5 điểm $A,P,O,F,N$ cùng thuộc một đường tròn
Vậy $A,N,F,P$ cùng nằm trên 1 đường tròn