Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

MN song song AH

hình học phẳng bất đẳng thức hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 23-11-2015 - 20:21

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$:

1. Đường tròn $(O')$ qua $B, C$  cắt $AB, AC$ tại $E, F$. $BF$ cắt CE tại H. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại T. Đường thẳng qua T và song song BF cắt AC tại M, đường thẳng qua T song song CE cắt AB tại N. CMR: MN song song AH.

2. Đường phân giác các góc A, B, C cắt (O) lần lượt tại D, E, F. CMR:

$AD+AE+AF\geq 2\sqrt{3}BC$

P/s: Đây là 2 bài riêng biệt nha. Mọi người giúp mình với. 


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#2 viet nam in my heart

viet nam in my heart

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 242 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Vĩnh Phúc - Vĩnh Phúc

Đã gửi 30-11-2015 - 20:46

 

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$:

1. Đường tròn $(O')$ qua $B, C$  cắt $AB, AC$ tại $E, F$. $BF$ cắt CE tại H. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BC tại T. Đường thẳng qua T và song song BF cắt AC tại M, đường thẳng qua T song song CE cắt AB tại N. CMR: MN song song AH.

 

0001.jpg

$AH$ cắt $BC$ tại $G$

Ta có: $\overrightarrow{AG}=\dfrac{GC}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{GB}{BC}\overrightarrow{AC}$

Lại có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\dfrac{NA}{AB}\overrightarrow{AB}+\dfrac{MA}{AC}\overrightarrow{AC}$

Để chứng minh $AG \parallel MN$ ta sẽ chứng minh: $\dfrac{GC}{BC}:\dfrac{NA}{AB}=\dfrac{GB}{BC}:\dfrac{MA}{AC}$ hay $\dfrac{MA}{NA}.\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{GC}{GB}=1$

Vì tứ giác $B,C,F,E$ cùng nằm trên $1$ đường tròn nên ta có: $AE.AB=AF.AC$

Đặt $AB=c,AC=b,AE.AB=AF.AC=x$. Suy ra $AF=\dfrac{x}{b},AE=\dfrac{x}{c}$

Khi đó $FC=AC-AF=b-\dfrac{x}{b},EB=AB-AE=c-\dfrac{x}{c}$

Ta có: $\triangle TAB \backsim \triangle TCA \Rightarrow \dfrac{TB}{TC}=\dfrac{TB}{TA}.\dfrac{TA}{TC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\left(\dfrac{c}{b}\right)^2$

Áp dụng định lý $Thales$ ta có: $\dfrac{NB}{NE}=\dfrac{TB}{TC} \Leftrightarrow \dfrac{NB}{NB+BE}=\dfrac{c^2}{b^2}\Rightarrow \dfrac{NB}{NB+c-\dfrac{x}{c}}=\dfrac{c^2}{b^2} \Leftrightarrow NB=\dfrac{\left(c^2-x\right)c}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}$

Suy ra $NA=NB+AB=\dfrac{\left(c^2-x\right)c}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}+c=\dfrac{\left(b^2-x\right)c}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}$

Chứng minh tương tự ta có: $MA=\dfrac{\left(c^2-x\right)b}{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}$

Suy ra $\dfrac{MA}{NA}=\dfrac{\left(c^2-x\right)b}{\left(b^2-x\right)c}$

Áp dụng định lý $Ceva$ ta có: $\dfrac{GC}{GB}.\dfrac{EB}{EA}.\dfrac{FA}{FC}=1$

Suy ra $\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{EA}{EB}.\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{\dfrac{x}{c}}{c-\dfrac{x}{c}}.\dfrac{b-\dfrac{x}{b}}{\dfrac{x}{b}}=\dfrac{b^2-x}{c^2-x}$

Do đó $\dfrac{MA}{NA}.\dfrac{AB}{AC}.\dfrac{GC}{GB}=\dfrac{\left(c^2-x\right)b}{\left(b^2-x\right)c}.\dfrac{c}{b}.\dfrac{b^2-x}{c^2-x}=1$

Suy ra $AG \parallel MN$

Vậy $AH \parallel MN$


"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công." Isaac Newton

VMF's Marathon Hình học Olympic






3 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 3 khách, 0 thành viên ẩn danh