Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

[Hình học] THPT tháng 11: $UK$ đi qua điểm cố định khi $P, Q$ thay đổi. $UK$ đi qua điểm cố định khi $P, Q$ thay đổi.

vmeo vmeo iv

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4265 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Mathematics, Manga

Đã gửi 21-12-2015 - 14:27

Cho tam giác $ABC$ với hai điểm $P,Q$ đẳng giác. Gọi $D,E$ là hình chiếu của $P$ lên $AB,AC$. $G$ là hình chiếu của $Q$ lên $BC$. $U$ là hình chiếu của $G$ lên $DE$, $L$ là hình chiếu của $P$ lên $AQ$, $K$ là đối xứng của $L$ qua $UG$.
 
Chứng minh $UK$ đi qua điểm cố định khi $P, Q$ thay đổi.
 

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 29-12-2015 - 19:57

thấy không ai đăng lời giải bài này, thôi mình xin phép up lời giải của mình vậy. Ý tưởng chính dựa theo đường thằng Steiner đi qua trực tâm.

Hi vọng mọi người cho ý kiến và đóng góp thêm lời giải cho bài toán này.

File gửi kèm



#3 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 29-12-2015 - 22:51

Bổ đề 1 là đường thẳng Steiner, không cần phải chứng minh khi thi VMO.

Bổ đề 2 là đường tròn Lemoine :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#4 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 30-12-2015 - 20:44

Bổ đề 1 là đường thẳng Steiner, không cần phải chứng minh khi thi VMO.

Bổ đề 2 là đường tròn Lemoine :D

Mình không có biết nên thôi, cứ chứng minh cho chắc ăn. Năm ngoái không chứng minh S.O.S mất toi giải nhì rồi.



#5 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 30-12-2015 - 20:58

Mình không có biết nên thôi, cứ chứng minh cho chắc ăn. Năm ngoái không chứng minh S.O.S mất toi giải nhì rồi.

Trong phạm vi kiến thức VMO thì đường thẳng Steiner được công nhận. Tuy nhiên, đường tròn Lemoine và SOS thì không :D Phải chứng minh là điều tất yếu.

 

Lời giải của bạn làm mình ấn tượng chỗ đường thẳng Steiner - điều mình không nghĩa tới. Mình giải bằng cách sử dụng trục đẳng phương (dĩ nhiên ngắn hơn của bạn :D )


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#6 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 13-01-2016 - 22:24

. Mình giải bằng cách sử dụng trục đẳng phương (dĩ nhiên ngắn hơn của bạn :D )

Anh Hân đăng lời giải đi! :)



#7 perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản trị
  • 4145 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Đàn guitar, ngắm người mình yêu, học toán

Đã gửi 14-01-2016 - 03:34

Anh Hân đăng lời giải đi! :)

Lời giải sẽ được đăng sau khi cuộc thi kết thúc :D


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D

$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$




I'm still there everywhere.

#8 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 08-02-2016 - 23:15

Lời giải của Thế có ý tưởng hay nhưng làm thế nào bỏ đoạn sin cos đi thì đẹp!



#9 hoangtubatu955

hoangtubatu955

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 431 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên
  • Sở thích:Combinatorics, Graph Theory, Number Theory.
    Incidences, Sum-product problem.

Đã gửi 09-02-2016 - 20:32

Lời giải của Thế có ý tưởng hay nhưng làm thế nào bỏ đoạn sin cos đi thì đẹp

Em cũng cố gắng nghĩ ra cách giải thích đẹp hơn cho việc dùng Sin, nhưng mà vì được truyền thụ cách đó rồi nên vẫn chưa thể vứt bỏ để tìm cái mới thầy ạ.



#10 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 10-02-2016 - 21:53

Lời giải của Thế có ý tưởng hay nhưng làm thế nào bỏ đoạn sin cos đi thì đẹp!

em xin được trình bày 1 cách giải khác cho bài toán này,  em không biết đánh latex mong mọi người thông cảm

http://web.geogebra....meapp/#geometry

gọi M,N lần lượt là hình chiếu của B và C lên AC AB

CN, BM cắt DE lần lượt tại S, T

gọi Z là hình chiếu của P lên BC thì DZGE là tg nội tiếp

gọi H là trực tâm tg ABC 

để Cm H,K,U thẳng hàng ta sẽ cm UG là tia phân giác của góc HUL tức ta CM góc DUH = EUL

điều này <=> tg SUH đồng dạng Tg EUL (1)

mà ta có A,D,P,L,E cùng thuộc đường tròn mà DAQ= LAE do P, Q đẳng giác 

=>tg DPE = tg ELD(g-g)

ta đễ thấy tg SHT đồng dạng tg DPE => SHT đồng dạng ELD 

kết hợp góc USH = góc DEL nên (1) <=> 

SU/ UT =UE/ UD

<=> DU/ UE =DT / SE

điều này đúng vì 

DU/ UE = GB/ GC (2)

mà ta có 

DT/ DB= sinABH / sinDEP 

SE/ EC= sinACH / sinEDP

kết hợp lại và áp dụng d lí sin cho tam giác DPE ta thu được 

DT/ SE = BG/ GC ( cm tỉ số này có thể thông qua các góc cua tg DZGE)

vậy ta có SU/ UT= UE/ UD 

nên UG là tia pg của góc HUL

mà UG là tia PG của KUL nên H, U , K thẳng hàng



#11 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 11-02-2016 - 16:43

Cách này khá giống đáp án đấy, chúc mừng em với lời giải hay, tuy vậy nếu xử lý được đoạn tỷ số sin cuối thì đẹp hơn.



#12 Nguyen Dinh Hoang

Nguyen Dinh Hoang

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 99 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K44 Trường THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:hình học, giải tích

Đã gửi 11-02-2016 - 19:03

doan cuoi em cung chi biet dung sin thay no chua hay lam 😊

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Dinh Hoang: 12-02-2016 - 00:09


#13 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1568 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 06-07-2017 - 17:54

Dù bài này lâu rồi, nhưng em mới tìm được lời giải qua ý tưởng dùng trục đẳng phương của một bạn nào đó trên facebook.

Gọi $R$ là trực tâm tam giác $ADE$. $B', C'$ là hình chiếu của $B, C$ trên $DE$ và $H$ là trực tâm tam giác $ABC$

Ta có $\Delta GUE \sim \Delta BDP$ và $\Delta GUD\sim \Delta CEP$, suy ra $\dfrac{UE}{UD}=\dfrac{PD}{DB}.\dfrac{EC}{EP}$

Ta còn có $\Delta EC'C\sim \Delta PDA$ và $\Delta DB'B\sim \Delta PEA$ nên $\dfrac{EC'}{DB'}=\dfrac{EC'}{EC}.\dfrac{DB}{DB'}.\dfrac{EC}{DB}=\dfrac{PD}{DB}.\dfrac{EC}{EP}=\dfrac{UE}{UD}$

Do đó $U$ thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính $BE$ và $CF$

Mà $RH$ là trục đẳng phương của đường tròn đường kinh $BE$ và $CF$ nên $HU$ đi qua $R$.

$R$ đối xứng với $L$ qua $EF$ nên $R, U, K$ thẳng hàng. Do đó $UK$ đi qua $H$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh