Tổng hợp các bài chưa có lời giải trong topic, còn khá nhiều nên mong mọi người ủng hộ! Chân thành cảm ơn!
Bài 70: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $abc=1$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3c}{a^3+bc+ca}+\frac{b^3a}{b^3+ca+ab}+\frac{c^3b}{c^3+ab+bc}\leq \frac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3(a+b+c)^2}$
Bài 68: Cho a,b,c>0 tim min $\frac{b(a-c)}{c(a+b)}+\frac{c(3b+a)}{a(b+c)}+\frac{3c(a-b)}{b(a+c)}$
Bài 67: Cho $a,b,c$ thực dương thỏa mãn $a,b,c \geq 1$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 2$.Chứng minh rằng:
$\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\geq \frac{9}{4}\sqrt{\frac{3}{abc}}$
Bài 73: $a,b,c>0;a^{2}+2b^{2}\leq 3c^{2}$
CM: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{3}{c}$
Tổng hợp một số bài chưa có lời giải ở Box THPT-ĐH:
Bài 94: Cho các số thực $x,y,z$ thoả mãn $x,y,z\in \left [ 1,2 \right ]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
$P=\dfrac{2(xy+yz+zx)}{xyz+2(2x+y+z)}+\dfrac{8}{2x(y+z)+yz+4}-\dfrac{y+z+4}{\sqrt{yz}+1}$
Bài 95: Cho a,b,c là các số thực dương
Min P = $\frac{a+3c}{a+2b+2c}$ + $\frac{4b}{a+b+2c}$ - $\frac{8c}{a+b+3c}$
Bài 96: a. Cho x,y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
$M=\sqrt{(1-x)^2+y^2}+\sqrt{(1+x)^2+y^2}+\left | 2-y \right |$
b. Cho a,b là các số thực thỏa: $\left |a \right |<1$ , $\left | b-1 \right |<20$ , $\left | a-c \right |<30$. Chứng minh $\left | ab-c \right |<50$
Bài 97: Cho $x,y,z>0$ với ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3.$ Tìm $MinP=\frac{{{\left( x+y+z-1 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
Bài 98: Cho $a,b,c>0$. Chứng minh $\frac{4a^2-b^2-c^2}{a(b+c)}+\frac{4b^2-c^2-a^2}{b(c+a)}+\frac{4c^2-a^2-b^2}{c(a+b)}\leq 3$
Bài 99: Cho $a,b,c\in [1;2]$
Tìm $minP=\frac{a^2b+b^2c+c^2a}{a^4+b^4+c^4}$
Bài 100: Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thoả mãn: $ab+bc+ca=1$. CMR:
$\frac{1}{\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{b+c}}+\frac{1}{\sqrt{c+a}}\geq 2+\frac{1}{\sqrt{2}}$
Bài 101: Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm GTLN của
$P=\frac{a^2}{(b-c)^2+(b+c)a}+\frac{b^2}{(c-a)^2+(c+a)b}+\frac{c^2}{(a-b)^2+(a+b)c}.$
Bài 102:
1,Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn x+y+z=3xyz.Chứng minh rằng:
$\frac{1}{x^2+2y^2z^2+1}+\frac{1}{y^2+2z^2x^2+1}+\frac{1}{z^2+2x^2y^2+1}\leq \frac{3}{4}$
2,Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn$\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\geq 1$
Chứng minh rằng: $x+y+z\geq xy+yz+xz$
3,Cho 3 số $a,b,c$ không âm.Chứng minh:
$\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
Bài 103: Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn $4(x^3+8y^6)=1$ . Tìm giá trị lớn nhất của :
$P=\frac{(x+2y^2+2)^3}{5(x^2+y^2)-5(x+y)+3}$
Bài 104: Cho 3 số thực $a,b,c$ đôi một khác nhau thỏa mãn$ a+b+c= 1 $ và $ ab+bc+ca >0 $
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$P = 2 ( \sqrt{\frac{2}{(a-b)^2} + \frac{2}{(b-c)^2}} + \frac{1}{|c-a|}) + \frac{5}{\sqrt{ab+bc+ca}}$
Bài 105: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $y+z=x(y^2+z^2)$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}+\frac{4}{(x+1)(y+1)(z+1)}$
Bài 107:
1) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z}=1$. Tìm Max
$A=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1-z}$
2) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xyz=1$. Chứng minh rằng
$B=\frac{x^4y^4}{x^5+y^5+x^4y^4}+\frac{y^4z^4}{y^5+z^5+y^4z^4}+\frac{z^4x^4}{z^5+x^5+z^4x^4}$
3) Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=1$. Chứng minh rằng
$\frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}\leq \frac{3}{4}$
4) Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{a}{4}+\frac{b}{6}+\frac{c}{3}=1$. Chứng minh
$\frac{(a+2b)^3}{5c+4a}+\frac{27c^3}{4a+4b+c}+\frac{(c+2a)^3}{a+2b+6c}\geq 16$
Bài 108: Cho các số thực dương thay đổi $a,b,c$ sao cho $a+b+c=1$.
Tìm max P: $P=3(a^2b+b^2c+c^2a)-5c^2+4c+2ab$
Tổng hợp một số bài chưa có lời giải ở Box THCS:
Bài 86: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $4x^{2}+9y^{2}+16z^{2}=1$
Tìm Min $\frac{2x}{9y^{2}+16z^{2}}+\frac{3y}{4x^{2}+16z^{2}}+\frac{4z}{4x^{2}+9y^{2}}$
Bài 87: Cho 3 số $a,b,c$ thỏa mãn : $0\leq a,b,c\leq 2$ và $a+b+c=3$ .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P=$4a^{3} + 4b^{3} + 4c^{3} + (a+b)(b+c)(c+a)$
Bài 88: Cho $x+y+z=1$ . CMR: $44(xy+yz+zx)\leq (3x+4y+5z)^{2}$
Bài 89: Cho $x,y,z$ là các số thực không âm thỏa mãn $x+y+z+xyz = 4 $
Tìm giá trị lớn nhất của $P = xy+yz+xz$
Bài 90: Cho $x,y,z >0$ thỏa mãn $x + y + 2 = z$. Tìm min P= $\frac{x}{x + yz} + \frac{y}{y + xz} + \frac{z^{2} + 2}{z + xy}$
Bài 91: Cho $a,b,c> 0$
CMR:$\frac{b^{2}c^{3}}{a^{2}(b+c)^{3}}+\frac{c^{2}a^{3}}{b^{2}(c+a)^{3}}+\frac{a^{2}b^{3}}{c^{2}(a+b)^{3}}\geq \frac{9abc}{4(3abc+ab^2+bc^2+ca^2)}$
Bài 92: Cho $a,b,c > 0$ và $a + b + c = 6$.
Chứng minh rằng $\frac{a}{b^2+2}+\frac{b}{c^2+2}+\frac{c}{a^2+2}\geq 1$
Bài 93: Cho $a,b,c,d$ dương thỏa mãn : $abcd=1$.
Chứng minh rằng:$\frac{(a-1)(c+1)}{1+bc+c}+\frac{(b-1)(d+1)}{1+cd+d}+\frac{(c-1)(a+1)}{1+ad+a}+\frac{(d-1)(b+1)}{1+ab+b}\geq 0$
Một số bài chưa có lời giải ở Box HSG-Olympic:
Bài 109:
1) Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2\leq \frac{3}{4}$. Tìm min
$P=4(x+y)(y+z)(z+x)+\frac{1}{2}(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3})$
2) Cho $x,y,z>0$ thỏa $x^2+y^2+z^2+2xy=3(x+y+z)$. Tìm min
$P=x+y+z+\frac{20}{\sqrt{x+z}}+\frac{20}{\sqrt{y+2}}$
3) CHo $x,y,z>0$ thỏa $x+y+z=3$. Tìm min
$P=\sum \frac{4x}{y(2\sqrt{1+8y^3})+4x-2}$
Bài 110:
Cho $a, b, c> 0$. Tìm Min:
$P=\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c+a}}+\sqrt[4]{\frac{c}{a+b}}$
Bài 111:
1, cho x,y,z > 0: xyz=1.
Tìm Min của
P= $\frac{1}{(x+1)^{3}} +\frac{1}{(y+1)^3}+\frac{1}{(z+1)^3}$
2, cho x,y,z>0 thỏa mãn xyz=1.
tìm Min
P= $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{2}{(1+x)(1+y)(1+z)}$
Bài 112:
Cho a,b,c> 0 thỏa mãn:$a^2+b^2+c^2+abc=4$.CMR:
$ \sum \frac{a^4}{b^2}\geq \sum \frac{ab}{c}$
Bài 113:
Cho a,b,c>0 thỏa $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$.Chứng minh
$(3a)^{\frac{1}{a^{2}}+\frac{2}{ab}}+(3b)^{\frac{1}{b^{2}}+\frac{2}{ac}}+(3c)^{\frac{1}{c^{2}}+\frac{2}{ab}}\leqslant 19683$
Bài 114:
1.Cho $x,y,z,t\in \mathbb{R}, -1\leq x,y,z,t\leq 1, x+y+t+z=0$
Chứng minh $\sqrt{1+x+y^2}+\sqrt{1+y+z^2}+\sqrt{1+z+t^2}+\sqrt{1+t+x^2}\geq 4$
2. Cho $x,y,z\in \mathbb{R},-1\leq x,y,z\leq 1, x+y+z\geq 0$
Chứng minh $\sqrt{1+x+\frac{7}{9}y^2}+\sqrt{1+y+\frac{7}{9}z^2}+\sqrt{1+z+\frac{7}{9}x^2}\geq 3$
Bài 115:
Cho a,b,c dương.Chứng minh rằng:
$\sum \frac{1}{(a+b)^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{3}}$
Bài 118:
Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương. Chứng minh rằng $2.\sqrt{\frac{3a}{a+b+c}}+3.\sqrt[3]{\frac{bc}{(a+b)(a+b+c+d)}}+4.\sqrt[4]{\frac{2b^{3}d}{81(a+b)^{3}(a+b+c+d)}} \leq \frac{25}{6}.$
Bài 120: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $P=\sum_{cyc} \frac{a(a^{2}-bc)}{2a^{2}+bc}\geq 0$
-----------------------------------------------------------------------
Bài 81: Cho $xy+yz+zx=1$. Tìm min: $x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$
Và tìm công thức min tổng quát cho bài trên!
Tổng quát cho bài trên với: $mx^{2}+ny^{2}+pz^{2}$
Ta sẽ đưa về dạng: $m(x^{2}+\frac{n}{m}y^{2}+\frac{p}{m}z^{2})$
Rồi tiếp tục áp dụng phương pháp của anh Huyện!
----------------------------------------
Tổng quát cụ thể hơn cho bài sau đây cũng tương tự như vậy:
Bài 82: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1;x,y,z>0$
Tìm giá trị lớn nhất của: $xy+yz+2zx$
Và tìm công thức tổng quát cho bài trên!
Tổng quát: Với $x,\,y$ là hai số thực dương cho trước và $a,\,b,\,c$ là ba số thực bất kỳ, khi đó
\[ab+x \cdot bc + y \cdot ca \leqslant \frac{k}{2}(a^2+b^2+c^2),\]
trong đó $k$ là nghiệm dương của phương trình $k^3 - k(1+x^2+y^2)-2xy=0.$
$mab+nbc+pca=m(ab+\frac{n}{m}bc+\frac{p}{m}ca)\leq$
................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 08-03-2016 - 17:46