Lời giải. Ta cần có bổ đề sau.
Bổ đề. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $(O). AC$ cắt $BD$ tại $P$. Gọi $K,L$ lần lượt là hình chiếu của $P$ lên $AB,CD$. Chứng minh $\triangle KML\sim \triangle BOC$
Chứng minh ở # $251$.
Quay lại bài toán.
Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$. Áp dụng bổ đề trên ta suy ra $\triangle KEL$ cân tại $E$ nên trung trực của $KL$ chính là tia phân giác của $\angle KEL\Rightarrow \angle KEM=\angle KEL/2=\angle BOC/2=\angle KAM\Rightarrow KMEA$ là tứ giác nội tiếp.
Tương tự ta cũng có $BKNF,CLMF,DLNE$ là các tứ giác nội tiếp.
Áp dụng định lí $Miquel$ cho tứ giác toàn phần $FMPBNC$ ta được $(BPC)(CFM)(PMN)(BFN)$ đồng quy tại điểm $Q$
Tương tự ta cũng có $(APD)(END)(AME)(PMN)$ đồng quy.
Mặt khác theo phép chứng minh ở bổ đề trên thì $\angle BKF+\angle CLK=\angle BPC$ nên $(BKF)(BPC)(FLC)$ đồng quy.
Vậy các đường tròn trên đồng quy!
Bài toán có thể khai thác thêm rất nhiều đường tròn đồng quy khác!